Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x^{3} + 1^{3}}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da soma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.1.3

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.1.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

$\frac{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2

Expanda $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ .

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Etapa 6.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x + 1) + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} - x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 (x^{2} - x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.6

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot (- 1 x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.7

Reordene $x$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + x \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.8

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 (- x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.9

Remova os parênteses.

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 \cdot (x \cdot x) + 1 \cdot x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.10

Multiplique $- 1$ por $x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.12

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.13

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} - 1 x \cdot x + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.14

Fatore o negativo.

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} - (x \cdot x) + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} - x^{1 + 1} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + 1 x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.19

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + 1 x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.20

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} + 1 \cdot (- 1 x) + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.21

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1 \cdot 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.22

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x + x^{2} - x + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.23

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} - x^{2} + x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.24

Mova $- x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + x^{2} - x^{2} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.25

Subtraia $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} + 0 + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.26

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + x - x + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.27

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{x^{3} + 0 + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.2.28

Some $x^{3}$ e $0$ .

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

$\frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

Etapa 6.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

Etapa 6.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

+

$x^{3}$

+

$0$

+

$2 x$

Etapa 6.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 + 2 x$ .

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

Etapa 6.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

-

$2 x$

Etapa 6.8

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

+

$0 x$

+

$2$

$x^{3}$

+

$0 x^{2}$

+

$0 x$

+

$1$

-

$x^{3}$

-

$0$

-

$2 x$

-

$2 x$

+

$1$

Etapa 6.9

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + \frac{- 2 x + 1}{x^{2} + 2}$

Etapa 6.10

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x$

$y = x$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x$

Etapa 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$