Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ é indefinida.

$x = - \frac{4}{3}, x = \frac{1}{2}$

Etapa 2

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ a partir da esquerda e $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{4}{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 3

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\frac{1}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 5$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ e cuja soma é $b = 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 (x) - 4}$

Etapa 8.1.1.2

Reescreva $5$ como $- 3$ mais $8$

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + (- 3 + 8) x - 4}$

Etapa 8.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} - 3 x + 8 x - 4}$

Etapa 8.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(6 x^{2} - 3 x) + 8 x - 4}$

Etapa 8.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{3 x (2 x - 1) + 4 (2 x - 1)}$

Etapa 8.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{(2 x - 1) (3 x + 4)}$

Etapa 8.2

Expanda $(2 x - 1) (3 x + 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x + 4) - 1 (3 x + 4)}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x + 4)}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 x \cdot (3 x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.5

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.6

Mova $x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.7

Remova os parênteses.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{2 \cdot (3 x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.8

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x \cdot x + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.10

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 (x \cdot x) + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{1 + 1} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 2 \cdot (4 x) - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.13

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 1 \cdot (3 x) - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.14

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 1 \cdot 4}$

Etapa 8.2.15

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 8 x - 3 x - 4}$

Etapa 8.2.16

Subtraia $3 x$ de $8 x$ .

$\frac{6 x^{5} - 4 x^{2} + 5}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $6 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $6 x^{5} + 5 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

Etapa 8.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 5 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 5 x^{4} - \frac{25 x^{3}}{6} + \frac{10 x^{2}}{3}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

Etapa 8.13

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Etapa 8.14

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $\frac{49 x^{3}}{6}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

Etapa 8.15

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Etapa 8.16

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $\frac{49 x^{3}}{6} + \frac{245 x^{2}}{36} - \frac{49 x}{9}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Etapa 8.17

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

Etapa 8.18

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Etapa 8.19

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- \frac{509 x^{2}}{36}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $6 x^{2}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

Etapa 8.20

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Etapa 8.21

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- \frac{509 x^{2}}{36} - \frac{2545 x}{216} + \frac{509}{54}$ .

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

Etapa 8.22

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$\frac{5 x^{2}}{6}$

$\frac{49 x}{36}$

$\frac{509}{216}$

$6 x^{2}$

$5 x$

$4$

$6 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$5$

$6 x^{5}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$5 x^{4}$

$4 x^{3}$

$4 x^{2}$

$5 x^{4}$

$\frac{25 x^{3}}{6}$

$\frac{10 x^{2}}{3}$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{22 x^{2}}{3}$

$0 x$

$\frac{49 x^{3}}{6}$

$\frac{245 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{49 x}{9}$

$5$

$\frac{509 x^{2}}{36}$

$\frac{2545 x}{216}$

$\frac{509}{54}$

$\frac{3721 x}{216}$

$\frac{239}{54}$

Etapa 8.23

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216} + \frac{\frac{3721 x}{216} - \frac{239}{54}}{6 x^{2} + 5 x - 4}$

Etapa 8.24

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{4}{3}, \frac{1}{2}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x^{3} - \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{49 x}{36} - \frac{509}{216}$

Etapa 10