Pré-cálculo Exemplos

$y^{2} - 5 x + 12 y = - 16$

Etapa 1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 1.1

Isole $x$ no lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1.1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.1.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 5 x + 12 y = - 16 - y^{2}$

Etapa 1.1.1.2

Subtraia $12 y$ dos dois lados da equação.

$- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $- 5 x = - 16 - y^{2} - 12 y$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x}{- 5} = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{16}{5} + \frac{- y^{2}}{- 5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{- 12 y}{- 5}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $\frac{16}{5} + \frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5}$ .

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Etapa 1.2.1

Mova $\frac{16}{5}$ .

$\frac{y^{2}}{5} + \frac{12 y}{5} + \frac{16}{5}$

Etapa 1.2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{5}$

$b = \frac{12}{5}$

$c = \frac{16}{5}$

Etapa 1.2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{12}{5}}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 (6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{1}{5}}$

Etapa 1.2.4.2.3

Multiplique $\frac{6}{5}$ por $\frac{1}{\frac{1}{5}}$ .

$d = \frac{6}{5 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.4.2.4

Combine $5$ e $\frac{1}{5}$ .

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Etapa 1.2.4.2.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.2.4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{6}{\frac{5}{5}}$

Etapa 1.2.4.2.5.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{6}{1}$

Etapa 1.2.4.2.6

Divida $6$ por $1$ .

$d = 6$

Etapa 1.2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 1.2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{{(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.5.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.5.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{12}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.5.2.1.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{1}{5})}$

Etapa 1.2.5.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{5}$ .

$e = \frac{16}{5} - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4}{5}}$

Etapa 1.2.5.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Etapa 1.2.5.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.2.5.2.1.4.1

Fatore $4$ de $144$ .

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 (36)}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Etapa 1.2.5.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{4 \cdot 36}{25} \cdot \frac{5}{4})$

Etapa 1.2.5.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{25} \cdot 5)$

Etapa 1.2.5.2.1.5

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 1.2.5.2.1.5.1

Fatore $5$ de $25$ .

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 (5)} \cdot 5)$

Etapa 1.2.5.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{16}{5} - (\frac{36}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Etapa 1.2.5.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{16}{5} - \frac{36}{5}$

Etapa 1.2.5.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{16 - 36}{5}$

Etapa 1.2.5.2.3

Subtraia $36$ de $16$ .

$e = \frac{- 20}{5}$

Etapa 1.2.5.2.4

Divida $- 20$ por $5$ .

$e = - 4$

Etapa 1.2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{5} {(y + 6)}^{2} - 4$

Etapa 1.3

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{5} \cdot {(y + 6)}^{2} - 4$

Etapa 2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{5}$

$h = - 4$

$k = - 6$

Etapa 3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, - 6)$

Etapa 4