Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} + 2 x}{- 4 x + 8}$ é indefinida.

$x = 2$

Etapa 2

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 3

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 4

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 5

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} + 2 x$ .

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Etapa 5.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x + 2 x}{- 4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.2

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2}{- 4 x + 8}$

Etapa 5.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot 2$ .

$\frac{x (x + 2)}{- 4 x + 8}$

Etapa 5.1.2

Fatore $4$ de $- 4 x + 8$ .

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Etapa 5.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 8}$

Etapa 5.1.2.2

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x) + 4 (2)}$

Etapa 5.1.2.3

Fatore $4$ de $4 (- x) + 4 (2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- x + 2)}$

Etapa 5.1.3

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) + 2)}$

Etapa 5.1.4

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x) - 1 (- 2))}$

Etapa 5.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- (x - 2))}$

Etapa 5.1.6

Reescreva os negativos.

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Etapa 5.1.6.1

Reescreva $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (x + 2)}{4 (- 1 (x - 2))}$

Etapa 5.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2

Expanda $- x (x + 2)$ .

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Etapa 5.2.1

Negative $x$ .

$\frac{- x (x + 2)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x \cdot x - x \cdot 2}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.3

Mova $x$ .

$\frac{- x \cdot x - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.4

Fatore o negativo.

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- (x \cdot x) - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{1 + 1} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot (2 x)}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.2.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 (x - 2)}$

Etapa 5.3

Expanda $4 (x - 2)$ .

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Etapa 5.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x + 4 \cdot - 2}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{- x^{2} - 2 x}{4 x - 8}$

Etapa 5.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4 x$

$8$

$x^{2}$

$2 x$

$0$

Etapa 5.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

				-	$\frac{x}{4}$
	$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$

Etapa 5.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$2 x$

Etapa 5.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{2} + 2 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$

Etapa 5.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$

Etapa 5.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$\frac{x}{4}$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Etapa 5.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4 x$ .

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$

Etapa 5.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					-	$4 x$	+	$8$

Etapa 5.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x + 8$ .

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$

Etapa 5.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$\frac{x}{4}$	-	$1$
$4 x$	-	$8$	-	$x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$4 x$	+	$0$
					+	$4 x$	-	$8$
							-	$8$

Etapa 5.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- \frac{x}{4} - 1 - \frac{8}{4 x - 8}$

Etapa 5.15

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- \frac{x}{4} - 1 + \frac{8}{- 4 x + 8}$

Etapa 5.16

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - \frac{x}{4} - 1$

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - \frac{x}{4} - 1$

Etapa 7