Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = 8 x^{5}$ ; find $f^{- 1} (x)$

Etapa 1

Escreva $f (x) = 8 x^{5}$ como uma equação.

$y = 8 x^{5}$

Etapa 2

Alterne as variáveis.

$x = 8 y^{5}$

Etapa 3

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação como $8 y^{5} = x$ .

$8 y^{5} = x$

Etapa 3.2

Divida cada termo em $8 y^{5} = x$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Divida cada termo em $8 y^{5} = x$ por $8$ .

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 y^{5}}{8} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.2.2.1.2

Divida $y^{5}$ por $1$ .

$y^{5} = \frac{x}{8}$

Etapa 3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \sqrt[5]{\frac{x}{8}}$

Etapa 3.4

Simplifique $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva $\sqrt[5]{\frac{x}{8}}$ como $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$

Etapa 3.4.2

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Etapa 3.4.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt[5]{x}}{\sqrt[5]{8}}$ por $\frac{{\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{\sqrt[5]{8} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Etapa 3.4.3.2

Eleve $\sqrt[5]{8}$ à potência de $1$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1} {\sqrt[5]{8}}^{4}}$

Etapa 3.4.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{1 + 4}}$

Etapa 3.4.3.4

Some $1$ e $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{\sqrt[5]{8}}^{5}}$

Etapa 3.4.3.5

Reescreva ${\sqrt[5]{8}}^{5}$ como $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{8}$ como $8^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{{(8^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Etapa 3.4.3.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Etapa 3.4.3.5.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.4.3.5.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.3.5.4.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{\frac{5}{5}}}$

Etapa 3.4.3.5.4.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8^{1}}$

Etapa 3.4.3.5.5

Avalie o expoente.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{8}}^{4}}{8}$

Etapa 3.4.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.1

Reescreva ${\sqrt[5]{8}}^{4}$ como $\sqrt[5]{8^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{8^{4}}}{8}$

Etapa 3.4.4.2

Eleve $8$ à potência de $4$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4096}}{8}$

Etapa 3.4.4.3

Reescreva $4096$ como $4^{5} \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.4.3.1

Fatore $1024$ de $4096$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{1024 (4)}}{8}$

Etapa 3.4.4.3.2

Reescreva $1024$ como $4^{5}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \sqrt[5]{4^{5} \cdot 4}}{8}$

Etapa 3.4.4.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{\sqrt[5]{x} \cdot 4 \sqrt[5]{4}}{8}$

Etapa 3.4.4.5

Combine usando a regra do produto para radicais.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{8}$

Etapa 3.4.5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1

Cancele o fator comum de $4$ e $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt[5]{x \cdot 4}$ .

$y = \frac{4 (\sqrt[5]{x \cdot 4})}{8}$

Etapa 3.4.5.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.5.1.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Etapa 3.4.5.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{4 \sqrt[5]{x \cdot 4}}{4 \cdot 2}$

Etapa 3.4.5.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$

Etapa 3.4.5.2

Reordene os fatores em $\frac{\sqrt[5]{x \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Etapa 4

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$

Etapa 5

Verifique se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 8 x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Para verificar o inverso, veja se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Etapa 5.2

Avalie $f^{- 1} (f (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f^{- 1} (f (x))$

Etapa 5.2.2

Avalie $f^{- 1} (8 x^{5})$ substituindo o valor de $f$ em $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{4 (8 x^{5})}}{2}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $4$ por $8$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

Etapa 5.2.3.2

Reescreva $32 x^{5}$ como ${(2 x)}^{5}$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

Etapa 5.2.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f^{- 1} (8 x^{5}) = \frac{2 x}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Divida $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{5}) = x$

Etapa 5.3

Avalie $f (f^{- 1} (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Estabeleça a função do resultado composto.

$f (f^{- 1} (x))$

Etapa 5.3.2

Avalie $f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})$ substituindo o valor de $f^{- 1}$ em $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2})}^{5}$

Etapa 5.3.3

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[5]{4 x}}^{5}}{2^{5}})$

Etapa 5.3.4

Reescreva ${\sqrt[5]{4 x}}^{5}$ como $4 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{4 x}$ como ${(4 x)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{({(4 x)}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}})$

Etapa 5.3.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}})$

Etapa 5.3.4.3

Combine $\frac{1}{5}$ e $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Etapa 5.3.4.4

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{{(4 x)}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}})$

Etapa 5.3.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Etapa 5.3.4.5

Simplifique.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{2^{5}})$

Etapa 5.3.5

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{32})$

Etapa 5.3.6

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Fatore $8$ de $32$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 (4)})$

Etapa 5.3.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = 8 (\frac{4 x}{8 \cdot 4})$

Etapa 5.3.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.3.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = \frac{4 x}{4}$

Etapa 5.3.7.2

Divida $x$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}) = x$

Etapa 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , então, $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$ é o inverso de $f (x) = 8 x^{5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{4 x}}{2}$