Pré-cálculo Exemplos

$r (x) = \frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ é indefinida.

$x = - 2, x = 2$

Etapa 2

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- 2$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- 2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - 2$

Etapa 3

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $2$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 2$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - 2, 2$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Etapa 8.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 8.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{x^{2} - 4}$

Etapa 8.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 4}$

Etapa 8.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{x^{2} - 2^{2}}$

Etapa 8.1.2.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$\frac{x^{2} (x + 3)}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 8.2

Expanda $x^{2} (x + 3)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 8.2.2

Reordene $x^{2}$ e $3$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 8.2.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} x + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 8.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2 + 1} + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 8.2.5

Some $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{(x + 2) (x - 2)}$

Etapa 8.3

Expanda $(x + 2) (x - 2)$ .

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Etapa 8.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x (x - 2) + 2 (x - 2)}$

Etapa 8.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2)}$

Etapa 8.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.4

Reordene $x$ e $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{1 + 1} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2}$

Etapa 8.3.9

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 2 x + 2 x - 4}$

Etapa 8.3.10

Some $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} + 0 - 4}$

Etapa 8.3.11

Subtraia $4$ de $0$ .

$\frac{x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2} - 4}$

Etapa 8.4

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 8.5

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

Etapa 8.6

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Etapa 8.7

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - 4 x$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

Etapa 8.8

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

Etapa 8.9

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

Etapa 8.10

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

Etapa 8.11

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

Etapa 8.12

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 x^{2} + 0 - 12$ .

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

Etapa 8.13

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$3$

$x^{2}$

$0 x$

$4$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$4 x$

$3 x^{2}$

$4 x$

$0$

$3 x^{2}$

$0$

$12$

$4 x$

$12$

Etapa 8.14

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x + 3 + \frac{4 x + 12}{x^{2} - 4}$

Etapa 8.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x + 3$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - 2, 2$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x + 3$

Etapa 10