Pré-cálculo Exemplos

$\frac{x^{2} - 6}{(x + 2) (2 x - 1)}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 2}$

Etapa 1.2

$\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{2 x - 1}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 2) (2 x - 1)$ .

$\frac{(x^{2} - 6) (x + 2) (2 x - 1)}{(x + 2) (2 x - 1)} = \frac{(A) (x + 2) (2 x - 1)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 6) (x + 2) (2 x - 1)}{(x + 2) (2 x - 1)} = \frac{(A) (x + 2) (2 x - 1)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x^{2} - 6) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{(A) (x + 2) (2 x - 1)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

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Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x^{2} - 6) (2 x - 1)}{2 x - 1} = \frac{(A) (x + 2) (2 x - 1)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.5.2

Divida $x^{2} - 6$ por $1$ .

$x^{2} - 6 = \frac{(A) (x + 2) (2 x - 1)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum de $x + 2$ .

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Etapa 1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 6 = \frac{A (x + 2) (2 x - 1)}{x + 2} + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.1.2

Divida $(A) (2 x - 1)$ por $1$ .

$x^{2} - 6 = (A) (2 x - 1) + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 6 = A (2 x) + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{2} - 6 = 2 A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.4

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$x^{2} - 6 = 2 A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.5

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$x^{2} - 6 = 2 A x - A + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.6

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

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Etapa 1.6.6.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - 6 = 2 A x - A + \frac{(B) (x + 2) (2 x - 1)}{2 x - 1}$

Etapa 1.6.6.2

Divida $(B) (x + 2)$ por $1$ .

$x^{2} - 6 = 2 A x - A + (B) (x + 2)$

Etapa 1.6.7

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} - 6 = 2 A x - A + B x + B \cdot 2$

Etapa 1.6.8

Mova $2$ para a esquerda de $B$ .

$x^{2} - 6 = 2 A x - A + B x + 2 B$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.7.1

Mova $A$ .

$x^{2} - 6 = 2 x A - A + B x + 2 B$

Etapa 1.7.2

Reordene $B$ e $x$ .

$x^{2} - 6 = 2 x A - A + B x + 2 B$

Etapa 1.7.3

Mova $- A$ .

$x^{2} - 6 = 2 x A + B x - A + 2 B$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$0 = 2 A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 6 = - 1 A + 2 B$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$0 = 2 A + B$

$- 6 = - 1 A + 2 B$

$0 = 2 A + B$

$- 6 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 3.1

Resolva $B$ em $0 = 2 A + B$ .

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Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $2 A + B = 0$ .

$2 A + B = 0$

$- 6 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.1.2

Subtraia $2 A$ dos dois lados da equação.

$B = - 2 A$

$- 6 = - 1 A + 2 B$

$B = - 2 A$

$- 6 = - 1 A + 2 B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2 A$ em cada equação.

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Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $- 6 = - 1 A + 2 B$ por $- 2 A$ .

$- 6 = - 1 A + 2 (- 2 A)$

$B = - 2 A$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.2.1

Simplifique $- 1 A + 2 (- 2 A)$ .

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Etapa 3.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1.1.1

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$- 6 = - A + 2 (- 2 A)$

$B = - 2 A$

Etapa 3.2.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 6 = - A - 4 A$

$B = - 2 A$

$- 6 = - A - 4 A$

$B = - 2 A$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $4 A$ de $- A$ .

$- 6 = - 5 A$

$B = - 2 A$

$- 6 = - 5 A$

$B = - 2 A$

$- 6 = - 5 A$

$B = - 2 A$

$- 6 = - 5 A$

$B = - 2 A$

Etapa 3.3

Resolva $A$ em $- 6 = - 5 A$ .

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Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $- 5 A = - 6$ .

$- 5 A = - 6$

$B = - 2 A$

Etapa 3.3.2

Divida cada termo em $- 5 A = - 6$ por $- 5$ e simplifique.

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Etapa 3.3.2.1

Divida cada termo em $- 5 A = - 6$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 A}{- 5} = \frac{- 6}{- 5}$

$B = - 2 A$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 5$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 A}{- 5} = \frac{- 6}{- 5}$

$B = - 2 A$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 5}$

$B = - 2 A$

$A = \frac{- 6}{- 5}$

$B = - 2 A$

$A = \frac{- 6}{- 5}$

$B = - 2 A$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$A = \frac{6}{5}$

$B = - 2 A$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - 2 A$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - 2 A$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - 2 A$

Etapa 3.4

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $\frac{6}{5}$ em cada equação.

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Etapa 3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $B = - 2 A$ por $\frac{6}{5}$ .

$B = - 2 (\frac{6}{5})$

$A = \frac{6}{5}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.4.2.1

Simplifique $- 2 (\frac{6}{5})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 2 (\frac{6}{5})$ .

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{6}{5}$ .

$B = \frac{- 2 \cdot 6}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$B = \frac{- 12}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = \frac{- 12}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

Etapa 3.4.2.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$B = - \frac{12}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{12}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{12}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

$B = - \frac{12}{5}$

$A = \frac{6}{5}$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = - \frac{12}{5}, A = \frac{6}{5}$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x + 2} + \frac{B}{2 x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{6}{5}}{x + 2} + \frac{- \frac{12}{5}}{2 x - 1}$