Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ é indefinida.

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 2

$\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}$

Etapa 3

$\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ a partir da esquerda e $\frac{x^{3} - x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 8.1.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(x^{3} - x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x^{2} (x - 1) + 1 (x - 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.1.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2

Expanda $(x - 1) (x^{2} + 1)$ .

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Etapa 8.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x (x^{2} + 1) - 1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.4

Reordene $x$ e $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{1 + 2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.7

Some $1$ e $2$ .

$\frac{x^{3} + 1 x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.8

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.9

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} + x - 1 x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.2.10

Mova $x$ .

$\frac{x^{3} - 1 x^{2} + x - 1}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 3 x^{2} - 2 x$ .

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$3 x$

$2$

$x^{3}$

$1 x^{2}$

$x$

$1$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$4 x^{2}$

$3 x$

Etapa 8.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

						$x$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							-	$4 x^{2}$	-	$12 x$	+	$8$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} - 12 x + 8$ .

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							+	$4 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$1 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
					-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$4 x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
							+	$4 x^{2}$	+	$12 x$	-	$8$
									+	$15 x$	-	$9$

Etapa 8.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x - 4 + \frac{15 x - 9}{x^{2} + 3 x - 2}$

Etapa 8.14

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = x - 4$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = x - 4$

Etapa 10