Pré-cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{x^{2} - 4 x - 5}{4 x + 4}$ é indefinida.

$x = - 1$

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Etapa 5

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 6

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 6.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1.1

Fatore $x^{2} - 4 x - 5$ usando o método AC.

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Etapa 6.1.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 5$ e cuja soma é $- 4$ .

$- 5, 1$

Etapa 6.1.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 x + 4}$

Etapa 6.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1.2.1

Fatore $4$ de $4 x + 4$ .

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Etapa 6.1.2.1.1

Fatore $4$ de $4 x$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4}$

Etapa 6.1.2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x) + 4 (1)}$

Etapa 6.1.2.1.3

Fatore $4$ de $4 (x) + 4 (1)$ .

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

Etapa 6.1.2.2

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x - 5) (x + 1)}{4 (x + 1)}$

Etapa 6.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 5}{4}$

Etapa 6.2

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$4$

$x$

$5$

Etapa 6.3

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $4$ .

			$\frac{x}{4}$
	$4$		$x$	-	$5$

Etapa 6.4

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	+	$x$

Etapa 6.5

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x$ .

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$

Etapa 6.6

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$

Etapa 6.7

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

		$\frac{x}{4}$
$4$		$x$	-	$5$
	-	$x$
		$0$	-	$5$

Etapa 6.8

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\frac{x}{4} - \frac{5}{4}$

Etapa 6.9

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = \frac{x}{4}$

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = \frac{x}{4}$

Etapa 8