Pré-cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ é indefinida.

$x = - \sqrt{3}, x = \sqrt{3}$

Etapa 2

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ a partir da esquerda e $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $- \sqrt{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 3

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ a partir da esquerda e $\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- x^{2} + 3}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $\sqrt{3}$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 4

Liste todas as assíntotas verticais:

$x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Etapa 5

Considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 6

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Etapa 7

Como $n > m$ , não há assíntota horizontal.

Nenhuma assíntota horizontal

Etapa 8

Encontre a assíntota oblíqua usando a divisão polinomial.

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Etapa 8.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.1

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) + 3}$

Etapa 8.1.2

Reescreva $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2}) - 1 (- 3)}$

Etapa 8.1.3

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- (x^{2} - 3)}$

Etapa 8.1.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 8.1.4.1

Reescreva $- (x^{2} - 3)$ como $- 1 (x^{2} - 3)$ .

$\frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{- 1 (x^{2} - 3)}$

Etapa 8.1.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 x^{3} + 4 x^{2} - 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2

Expanda $- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)$ .

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Etapa 8.2.1

Negative $2 x^{3} + 4 x^{2} - 9$ .

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2} - 9)}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (2 x^{3} + 4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.4

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.5

Remova os parênteses.

$\frac{- 1 \cdot (2 x^{3}) - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot (4 x^{2}) + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.7

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.2.8

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{- 2 x^{3} - 4 x^{2} + 9}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.3

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

Etapa 8.4

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 2 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

						-	$2 x$
	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$

Etapa 8.5

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$2 x$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$9$

$2 x^{3}$

$0$

$6 x$

Etapa 8.6

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 2 x^{3} + 0 + 6 x$ .

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$

Etapa 8.7

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$

Etapa 8.8

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

					-	$2 x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Etapa 8.9

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 4 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$

Etapa 8.10

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							-	$4 x^{2}$	+	$0$	+	$12$

Etapa 8.11

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 4 x^{2} + 0 + 12$ .

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$

Etapa 8.12

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

					-	$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$	-	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$0 x$	+	$9$
					+	$2 x^{3}$	-	$0$	-	$6 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$6 x$	+	$9$
							+	$4 x^{2}$	-	$0$	-	$12$
									-	$6 x$	-	$3$

Etapa 8.13

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$- 2 x - 4 + \frac{- 6 x - 3}{x^{2} - 3}$

Etapa 8.14

Divida a solução na parte polinomial e no resto.

$- 2 x - 4 + \frac{6 x + 3}{- x^{2} + 3}$

Etapa 8.15

A assíntota oblíqua é a parte polinomial do resultado da divisão longa.

$y = - 2 x - 4$

Etapa 9

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \sqrt{3}, \sqrt{3}$

Nenhuma assíntota horizontal

Assíntotas oblíquas: $y = - 2 x - 4$

Etapa 10