Pré-álgebra Exemplos

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \div \frac{x^{2} + 6 x + 5}{2 x^{2} - 7 x + 3}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{2 x^{2} + 3 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 1 = 2$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $3$ como $1$ mais $2$

$\frac{2 x^{2} + (1 + 2) x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 1 x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} + x + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} + x) + 2 x + 1}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{x^{2} + 2 x - 15} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 3

Fatore $x^{2} + 2 x - 15$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $2$ .

$- 3, 5$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e cuja soma é $b = - 7$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 7$ de $- 7 x$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 7 (x) + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 4.1.2

Reescreva $- 7$ como $- 1$ mais $- 6$

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} + (- 1 - 6) x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{2 x^{2} - 1 x - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x^{2} - 1 x) - 6 x + 3}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x^{2} + 6 x + 5}$

Etapa 5

Fatore $x^{2} + 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $6$ .

$1, 5$

Etapa 5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(2 x + 1) (x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 6.1

Fatore $x + 1$ de $(2 x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (2 x + 1)}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{(x + 1) (x + 5)}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(2 x - 1) (x - 3)}{x + 5}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $x - 3$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x - 3$ de $(2 x - 1) (x - 3)$ .

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x + 1}{(x - 3) (x + 5)} \cdot \frac{(x - 3) (2 x - 1)}{x + 5}$

Etapa 7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x + 1}{x + 5} \cdot \frac{2 x - 1}{x + 5}$

Etapa 8

Multiplique $\frac{2 x + 1}{x + 5}$ por $\frac{2 x - 1}{x + 5}$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{(x + 5) (x + 5)}$

Etapa 9

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} (x + 5)}$

Etapa 10

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1}}$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{1 + 1}}$

Etapa 12

Some $1$ e $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 13

Expanda $(2 x + 1) (2 x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 13.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x - 1)}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 13.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 14

Combine os termos opostos em $2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 14.1

Reorganize os fatores nos termos $2 x \cdot - 1$ e $1 (2 x)$ .

$\frac{2 x (2 x) - 1 \cdot 2 x + 1 \cdot 2 x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 14.2

Some $- 1 \cdot 2 x$ e $1 \cdot 2 x$ .

$\frac{2 x (2 x) + 0 + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 14.3

Some $2 x (2 x)$ e $0$ .

$\frac{2 x (2 x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{2 \cdot 2 x \cdot x + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 15.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 15.2.1

Mova $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 (x \cdot x) + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 15.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 1 \cdot - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 15.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 16

Divida a fração $\frac{4 x^{2} - 1}{{(x + 5)}^{2}}$ em duas frações.

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{- 1}{{(x + 5)}^{2}}$

Etapa 17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{4 x^{2}}{{(x + 5)}^{2}} - \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$