Pré-álgebra Exemplos

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \div \frac{3 k^{2}}{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{12 k^{2} - 5 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 12 \cdot - 2 = - 24$ e cuja soma é $b = - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Fatore $- 5$ de $- 5 k$ .

$\frac{12 k^{2} - 5 (k) - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 5$ como $3$ mais $- 8$

$\frac{12 k^{2} + (3 - 8) k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{12 k^{2} + 3 k - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(12 k^{2} + 3 k) - 8 k - 2}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{3 k (4 k + 1) - 2 (4 k + 1)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 k + 1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k^{2} + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 3

Fatore $k$ de $k^{2} + 9 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $k$ de $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + 9 k} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 3.2

Fatore $k$ de $9 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k \cdot k + k \cdot 9} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 3.3

Fatore $k$ de $k \cdot k + k \cdot 9$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k^{3} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Fatore $k$ de $k^{3} + 7 k^{2} - 18 k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $k$ de $k^{3}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + 7 k^{2} - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 4.1.2

Fatore $k$ de $7 k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) - 18 k}{3 k^{2}}$

Etapa 4.1.3

Fatore $k$ de $- 18 k$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k \cdot k^{2} + k (7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Etapa 4.1.4

Fatore $k$ de $k \cdot k^{2} + k (7 k)$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18}{3 k^{2}}$

Etapa 4.1.5

Fatore $k$ de $k (k^{2} + 7 k) + k \cdot - 18$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k^{2} + 7 k - 18)}{3 k^{2}}$

Etapa 4.2

Fatore $k^{2} + 7 k - 18$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 18$ e cuja soma é $7$ .

$- 2, 9$

Etapa 4.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k ((k - 2) (k + 9))}{3 k^{2}}$

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2)}{k (k + 9)} \cdot \frac{k (k - 2) (k + 9)}{3 k^{2}}$

Etapa 5

Combine.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k (k + 9) (3 k^{2})}$

Etapa 6

Multiplique $k$ por $k^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Mova $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k (k + 9) \cdot 3}$

Etapa 6.2

Multiplique $k^{2}$ por $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2} k^{1} (k + 9) \cdot 3}$

Etapa 6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{2 + 1} (k + 9) \cdot 3}$

Etapa 6.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $k$ e $k^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Fatore $k$ de $(4 k + 1) (3 k - 2) (k (k - 2) (k + 9))$ .

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k^{3} (k + 9) \cdot 3}$

Etapa 7.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $k$ de $k^{3} (k + 9) \cdot 3$ .

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{k ((4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9)))}{k ((k^{2} (k + 9)) \cdot 3)}$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{(k^{2} (k + 9)) \cdot 3}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $k + 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) ((k - 2) (k + 9))}{k^{2} (k + 9) \cdot 3}$

Etapa 8.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{(k^{2}) \cdot 3}$

Etapa 9

Mova $3$ para a esquerda de $k^{2}$ .

$\frac{(4 k + 1) (3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 10

Expanda $(4 k + 1) (3 k - 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 k (3 k - 2) + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 10.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k - 2)) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 10.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(4 k (3 k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{(4 \cdot 3 k \cdot k + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.1.2

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Mova $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 (k \cdot k) + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.1.2.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$\frac{(4 \cdot 3 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.1.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$\frac{(12 k^{2} + 4 k \cdot - 2 + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.1.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 1 (3 k) + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.1.5

Multiplique $3 k$ por $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k + 1 \cdot - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.1.6

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{(12 k^{2} - 8 k + 3 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 11.2

Some $- 8 k$ e $3 k$ .

$\frac{(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)}{3 k^{2}}$

Etapa 12

Expanda $(12 k^{2} - 5 k - 2) (k - 2)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{12 k^{2} k + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $k^{2}$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova $k$ .

$\frac{12 (k \cdot k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $k$ por $k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.2.1

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$\frac{12 (k^{1} k^{2}) + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{12 k^{1 + 2} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.1.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{12 k^{3} + 12 k^{2} \cdot - 2 - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.2

Multiplique $- 2$ por $12$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k \cdot k - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.3

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Mova $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 (k \cdot k) - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} - 5 k \cdot - 2 - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.4

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k - 2 \cdot - 2}{3 k^{2}}$

Etapa 13.5

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$\frac{12 k^{3} - 24 k^{2} - 5 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Etapa 14

Subtraia $5 k^{2}$ de $- 24 k^{2}$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 10 k - 2 k + 4}{3 k^{2}}$

Etapa 15

Subtraia $2 k$ de $10 k$ .

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$

Etapa 16

Divida a fração $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k + 4}{3 k^{2}}$ em duas frações.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 17

Divida a fração $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2} + 8 k}{3 k^{2}}$ em duas frações.

$\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 18

Divida a fração $\frac{12 k^{3} - 29 k^{2}}{3 k^{2}}$ em duas frações.

$\frac{12 k^{3}}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 19

Cancele o fator comum de $12$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Fatore $3$ de $12 k^{3}$ .

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Fatore $3$ de $3 k^{2}$ .

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 (k^{2})} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 19.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (4 k^{3})}{3 k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 19.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 k^{3}}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 20

Cancele o fator comum de $k^{3}$ e $k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Fatore $k^{2}$ de $4 k^{3}$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2}} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 20.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 20.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{k^{2} (4 k)}{k^{2} \cdot 1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 20.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{4 k}{1} + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 20.2.4

Divida $4 k$ por $1$ .

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 21

Cancele o fator comum de $k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 21.1

Cancele o fator comum.

$4 k + \frac{- 29 k^{2}}{3 k^{2}} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 21.2

Reescreva a expressão.

$4 k + \frac{- 29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 22

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8 k}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 23

Cancele o fator comum de $k$ e $k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.1

Fatore $k$ de $8 k$ .

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{3 k^{2}} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 23.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 23.2.1

Fatore $k$ de $3 k^{2}$ .

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 23.2.2

Cancele o fator comum.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{k \cdot 8}{k (3 k)} + \frac{4}{3 k^{2}}$

Etapa 23.2.3

Reescreva a expressão.

$4 k - \frac{29}{3} + \frac{8}{3 k} + \frac{4}{3 k^{2}}$