Pré-álgebra Exemplos

$(x^{- 2} - y^{- 2}) \div (x^{- 1} + y^{- 1})$

Etapa 1

Reescreva a divisão como uma fração.

$\frac{x^{- 2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1

Reescreva $x^{- 2}$ como ${(x^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - y^{- 2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.2

Reescreva $y^{- 2}$ como ${(y^{- 1})}^{2}$ .

$\frac{{(x^{- 1})}^{2} - {(y^{- 1})}^{2}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x^{- 1}$ e $b = y^{- 1}$ .

$\frac{(x^{- 1} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + y^{- 1}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.4.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (x^{- 1} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.4.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - y^{- 1})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.4.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.5

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.6

Para escrever $\frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.7

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.7.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.7.3

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{(\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}) (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.9

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.10

Para escrever $- \frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.11.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{y x})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.11.3

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} (\frac{y}{x y} - \frac{x}{x y})}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{x^{- 1} + y^{- 1}}$

Etapa 3

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + y^{- 1}}$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

Etapa 3.3

Para escrever $\frac{1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y}}$

Etapa 3.4

Para escrever $\frac{1}{y}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

Etapa 3.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x y$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 3.5.1

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{y}{y}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{1}{y} \cdot \frac{x}{x}}$

Etapa 3.5.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{y x}}$

Etapa 3.5.3

Reordene os fatores de $y x$ .

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y}{x y} + \frac{x}{x y}}$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{y + x}{x y} \cdot \frac{y - x}{x y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 4

Multiplique $\frac{y + x}{x y}$ por $\frac{y - x}{x y}$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x y (x y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1} x^{1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{1 + 1} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y \cdot y}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y)}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} (y^{1} y^{1})}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{1 + 1}}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 5.8

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}}}{\frac{y + x}{x y}}$

Etapa 6

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

Etapa 7

Cancele o fator comum de $y + x$ .

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(y + x) (y - x)}{x^{2} y^{2}} \cdot \frac{x y}{y + x}$

Etapa 7.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y - x}{x^{2} y^{2}} (x y)$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $x y$ .

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Etapa 8.1

Fatore $x y$ de $x^{2} y^{2}$ .

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y - x}{x y (x y)} (x y)$

Etapa 8.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y - x}{x y}$

Etapa 9

Divida a fração $\frac{y - x}{x y}$ em duas frações.

$\frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}$

Etapa 10

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y}{x y} + \frac{- x}{x y}$

Etapa 10.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x y}$

Etapa 11

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 11.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x y}$

Etapa 11.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{y}$

Etapa 12

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{y}$