Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x^{2}}{{(\frac{36}{5})}^{2}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Etapa 1

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1296}{25}} - \frac{y^{2}}{16} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \frac{36}{5}$

$b = 4$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $36$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16}$

Etapa 5.3.5

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}}$

Etapa 5.3.6

Combine $16$ e $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}}$

Etapa 5.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}}$

Etapa 5.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.8.1

Multiplique $16$ por $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}}$

Etapa 5.3.8.2

Some $1296$ e $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}}$

Etapa 5.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$

Etapa 5.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1

Reescreva $1696$ como $4^{2} \cdot 106$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1.1

Fatore $16$ de $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}}$

Etapa 5.3.10.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}}$

Etapa 5.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}}$

Etapa 5.3.11

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}}$

Etapa 5.3.11.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{36}{5}, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{36}{5}, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + {(4)}^{2}}}{\frac{36}{5}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{36}{5})}^{2} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{36}{5}$ .

$\sqrt{\frac{36^{2}}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.3

Eleve $36$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{5^{2}} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 4^{2}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.5

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.6

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + 16 \cdot \frac{25}{25}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.7

Combine $16$ e $\frac{25}{25}$ .

$\sqrt{\frac{1296}{25} + \frac{16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1296 + 16 \cdot 25}{25}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.9.1

Multiplique $16$ por $25$ .

$\sqrt{\frac{1296 + 400}{25}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.9.2

Some $1296$ e $400$ .

$\sqrt{\frac{1696}{25}} \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.10

Reescreva $\sqrt{\frac{1696}{25}}$ como $\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}}$ .

$\frac{\sqrt{1696}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1

Reescreva $1696$ como $4^{2} \cdot 106$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1.1

Fatore $16$ de $1696$ .

$\frac{\sqrt{16 (106)}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.11.1.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.11.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{25}} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.12

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{5^{2}}} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.12.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.13

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{36}$

Etapa 8.3.13.1.2

Fatore $4$ de $36$ .

$\frac{4 (\sqrt{106})}{5} \cdot \frac{5}{4 (9)}$

Etapa 8.3.13.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{4 \cdot 9}$

Etapa 8.3.13.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Etapa 8.3.13.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{106}}{5} \cdot \frac{5}{9}$

Etapa 8.3.13.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{106} \frac{1}{9}$

Etapa 8.3.13.3

Combine $\sqrt{106}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{\sqrt{106}}{9}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{\frac{4^{2}}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $4^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $4$ de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 (\sqrt{106})}}{5}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{4 \cdot 4}{4 \sqrt{106}}}{5}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{4}{\sqrt{106}}}{5}$

Etapa 9.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.3

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{106}}$ por $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{106}} \cdot \frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}} \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.1

Multiplique $\frac{4}{\sqrt{106}}$ por $\frac{\sqrt{106}}{\sqrt{106}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{\sqrt{106} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.2

Eleve $\sqrt{106}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} \sqrt{106}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.3

Eleve $\sqrt{106}$ à potência de $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1} {\sqrt{106}}^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{1 + 1}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{\sqrt{106}}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.6

Reescreva ${\sqrt{106}}^{2}$ como $106$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{106}$ como $106^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{{(106^{\frac{1}{2}})}^{2}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{\frac{2}{2}}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106^{1}} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.4.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{4 \sqrt{106}}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.5

Cancele o fator comum de $4$ e $106$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.5.1

Fatore $2$ de $4 \sqrt{106}$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{106} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.5.2.1

Fatore $2$ de $106$ .

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 (53)} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \sqrt{106})}{2 \cdot 53} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$

Etapa 9.3.6

Multiplique $\frac{2 \sqrt{106}}{53} \cdot \frac{1}{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.6.1

Multiplique $\frac{2 \sqrt{106}}{53}$ por $\frac{1}{5}$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{53 \cdot 5}$

Etapa 9.3.6.2

Multiplique $53$ por $5$ .

$\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{5}{9} x + 0$

Etapa 11

Simplifique $\frac{5}{9} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Some $\frac{5}{9} x$ e $0$ .

$y = \frac{5}{9} x$

Etapa 11.2

Combine $\frac{5}{9}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{9}$

Etapa 12

Simplifique $- \frac{5}{9} x + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Some $- \frac{5}{9} x$ e $0$ .

$y = - \frac{5}{9} x$

Etapa 12.2

Combine $x$ e $\frac{5}{9}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{9}$

Etapa 12.3

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{5 x}{9}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{5 x}{9}, y = - \frac{5 x}{9}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(0, 0)$

Vértices: $(\frac{36}{5}, 0), (- \frac{36}{5}, 0)$

Ponto imaginário: $(\frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0), (- \frac{4 \sqrt{106}}{5}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{106}}{9}$

Parâmetro focal: $\frac{2 \sqrt{106}}{265}$

Assíntotas: $y = \frac{5 x}{9}$ , $y = - \frac{5 x}{9}$

Etapa 15