Pré-álgebra Exemplos

$| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$

Etapa 1

Escreva $| \frac{2 x - 1}{x} | < 2$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$\frac{2 x - 1}{x} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 1.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 1.2.3

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.5

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.6

Encontre o domínio de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.2.6.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 1.2.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 1.2.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} \geq 0$

Etapa 1.2.8.1.3

O lado esquerdo $2.5$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 1.2.8.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} \geq 0$

Etapa 1.2.8.2.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.2.8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 1.2.8.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{2 (3) - 1}{3} \geq 0$

Etapa 1.2.8.3.3

O lado esquerdo $1.\overline{6}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.2.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1}{2}$ Falso

$x > \frac{1}{2}$ Verdadeiro

Etapa 1.2.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x \geq \frac{1}{2}$

Etapa 1.3

Na parte em que $\frac{2 x - 1}{x}$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$\frac{2 x - 1}{x} < 2$

Etapa 1.4

Encontre o domínio de $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ e a intersecção com $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Encontre o domínio de $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.4.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 1.4.2

Encontre a intersecção de $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ e $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$

Etapa 1.5

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$\frac{2 x - 1}{x} < 0$

Etapa 1.6

Resolva a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Etapa 1.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 1.6.3

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.4

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.5

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.6

Encontre o domínio de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.6.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.6.6.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 1.6.7

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{2}$

$x > \frac{1}{2}$

Etapa 1.6.8

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.8.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.8.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 1.6.8.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 0$

Etapa 1.6.8.1.3

O lado esquerdo $2.5$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.8.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.8.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.25$

Etapa 1.6.8.2.2

Substitua $x$ por $0.25$ na desigualdade original.

$\frac{2 (0.25) - 1}{0.25} < 0$

Etapa 1.6.8.2.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 1.6.8.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.8.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 1.6.8.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{2 (3) - 1}{3} < 0$

Etapa 1.6.8.3.3

O lado esquerdo $1.\overline{6}$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 1.6.8.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < \frac{1}{2}$ Verdadeiro

$x > \frac{1}{2}$ Falso

Etapa 1.6.9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < \frac{1}{2}$

Etapa 1.7

Na parte em que $\frac{2 x - 1}{x}$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} < 2$

Etapa 1.8

Encontre o domínio de $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ e a intersecção com $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Encontre o domínio de $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 1.8.1.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 1.8.2

Encontre a intersecção de $0 < x < \frac{1}{2}$ e $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$0 < x < \frac{1}{2}$

Etapa 1.9

Escreva em partes.

${\begin{cases} \frac{2 x - 1}{x} < 2 & x < 0 or x \geq \frac{1}{2} \\ - \frac{2 x - 1}{x} < 2 & 0 < x < \frac{1}{2} \end{cases}$

Etapa 2

Resolva $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ quando $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Resolva $\frac{2 x - 1}{x} < 2$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique $\frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Etapa 2.1.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{x}$ .

$\frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Etapa 2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x - 1 - 2 x}{x} < 0$

Etapa 2.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.4.1

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\frac{0 - 1}{x} < 0$

Etapa 2.1.2.4.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{x} < 0$

Etapa 2.1.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x} < 0$

Etapa 2.1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

Etapa 2.1.4

Encontre o domínio de $- \frac{1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Defina o denominador em $\frac{1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 2.1.4.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 2.1.5

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > 0$

Etapa 2.2

Encontre a intersecção de $x > 0$ e $x < 0 or x \geq \frac{1}{2}$ .

$x \geq \frac{1}{2}$

Etapa 3

Resolva $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ quando $0 < x < \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $- \frac{2 x - 1}{x} < 2$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 < 0$

Etapa 3.1.2

Simplifique $- \frac{2 x - 1}{x} - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} - 2 \cdot \frac{x}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 x - 1}{x} + \frac{- 2 x}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- (2 x - 1) - 2 x}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- (2 x) - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x - - 1 - 2 x}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 x + 1 - 2 x}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.4.4

Subtraia $2 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 4 x + 1}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.5

Fatore $- 1$ de $- 4 x$ .

$\frac{- (4 x) + 1}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.6

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x) - 1 (- 1)}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.7

Fatore $- 1$ de $- (4 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (4 x - 1)}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.8

Reescreva $- (4 x - 1)$ como $- 1 (4 x - 1)$ .

$\frac{- 1 (4 x - 1)}{x} < 0$

Etapa 3.1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 x - 1}{x} < 0$

Etapa 3.1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

Etapa 3.1.4

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 3.1.5

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.7

Consolide as soluções.

$x = 0, \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.8

Encontre o domínio de $- \frac{4 x - 1}{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.8.1

Defina o denominador em $\frac{4 x - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 3.1.8.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 3.1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < \frac{1}{4}$

$x > \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 3.1.10.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$- \frac{2 (- 2) - 1}{- 2} < 2$

Etapa 3.1.10.1.3

O lado esquerdo $- 2.5$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.10.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0.12$

Etapa 3.1.10.2.2

Substitua $x$ por $0.12$ na desigualdade original.

$- \frac{2 (0.12) - 1}{0.12} < 2$

Etapa 3.1.10.2.3

O lado esquerdo $6.\overline{3}$ não é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 3.1.10.3

Teste um valor no intervalo $x > \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > \frac{1}{4}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 3.1.10.3.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$- \frac{2 (3) - 1}{3} < 2$

Etapa 3.1.10.3.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{6}$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 3.1.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Verdadeiro

$x < 0$ Verdadeiro

$0 < x < \frac{1}{4}$ Falso

$x > \frac{1}{4}$ Verdadeiro

Etapa 3.1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < 0$ ou $x > \frac{1}{4}$

Etapa 3.2

Encontre a intersecção de $x < 0 or x > \frac{1}{4}$ e $0 < x < \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{4} < x < \frac{1}{2}$

Etapa 4

Encontre a união das soluções.

$x > \frac{1}{4}$

Etapa 5

Encontre o domínio de $| \frac{2 x - 1}{x} | - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina o denominador em $\frac{2 x - 1}{x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x = 0$

Etapa 5.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > \frac{1}{4}$

Etapa 7