Pré-álgebra Exemplos

$\frac{x - 2}{5} + \frac{{(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

Etapa 1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 1$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $5$ .

$5 \frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 5 \cdot 1$

Etapa 3

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$5 \frac{x - 2 + {(y - 5)}^{2}}{5} = 5 \cdot 1$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x - 2 + {(y - 5)}^{2} = 5 \cdot 1$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$x - 2 + {(y - 5)}^{2} = 5$

Etapa 4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x + {(y - 5)}^{2} = 5 + 2$

Etapa 4.2

Subtraia ${(y - 5)}^{2}$ dos dois lados da equação.

$x = 5 + 2 - {(y - 5)}^{2}$

Etapa 4.3

Some $5$ e $2$ .

$x = 7 - {(y - 5)}^{2}$

Etapa 5

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 5.1

Reordene $7$ e $- {(y - 5)}^{2}$ .

$x = - {(y - 5)}^{2} + 7$

Etapa 5.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = 7$

$k = 5$

Etapa 5.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 5.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(7, 5)$

Etapa 5.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 5.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 5.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 5.5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 5.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 5.6

Encontre o foco.

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Etapa 5.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 5.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{27}{4}, 5)$

Etapa 5.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 5$

Etapa 5.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 5.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 5.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{29}{4}$

Etapa 5.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(7, 5)$

Foco: $(\frac{27}{4}, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = \frac{29}{4}$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(7, 5)$

Foco: $(\frac{27}{4}, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = \frac{29}{4}$

Etapa 6

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 6.1

Substitua o valor $x$ $5$ em $f (x) = \sqrt{- x + 7} + 5$ . Nesse caso, o ponto é $(5, 6.41421356)$ .

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Etapa 6.1.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \sqrt{- (5) + 7} + 5$

Etapa 6.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (5) = \sqrt{- 5 + 7} + 5$

Etapa 6.1.2.1.2

Some $- 5$ e $7$ .

$f (5) = \sqrt{2} + 5$

Etapa 6.1.2.2

A resposta final é $\sqrt{2} + 5$ .

$y = \sqrt{2} + 5$

Etapa 6.1.3

Converta $\sqrt{2} + 5$ em decimal.

$= 6.41421356$

Etapa 6.2

Substitua o valor $x$ $5$ em $f (x) = - \sqrt{- x + 7} + 5$ . Nesse caso, o ponto é $(5, 3.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - \sqrt{- (5) + 7} + 5$

Etapa 6.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f (5) = - \sqrt{- 5 + 7} + 5$

Etapa 6.2.2.1.2

Some $- 5$ e $7$ .

$f (5) = - \sqrt{2} + 5$

Etapa 6.2.2.2

A resposta final é $- \sqrt{2} + 5$ .

$y = - \sqrt{2} + 5$

Etapa 6.2.3

Converta $- \sqrt{2} + 5$ em decimal.

$= 3.58578643$

Etapa 6.3

Substitua o valor $x$ $6$ em $f (x) = \sqrt{- x + 7} + 5$ . Nesse caso, o ponto é $(6, 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \sqrt{- (6) + 7} + 5$

Etapa 6.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (6) = \sqrt{- 6 + 7} + 5$

Etapa 6.3.2.1.2

Some $- 6$ e $7$ .

$f (6) = \sqrt{1} + 5$

Etapa 6.3.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (6) = 1 + 5$

Etapa 6.3.2.2

Some $1$ e $5$ .

$f (6) = 6$

Etapa 6.3.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 6.3.3

Converta $6$ em decimal.

$= 6$

Etapa 6.4

Substitua o valor $x$ $6$ em $f (x) = - \sqrt{- x + 7} + 5$ . Nesse caso, o ponto é $(6, 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - \sqrt{- (6) + 7} + 5$

Etapa 6.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f (6) = - \sqrt{- 6 + 7} + 5$

Etapa 6.4.2.1.2

Some $- 6$ e $7$ .

$f (6) = - \sqrt{1} + 5$

Etapa 6.4.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (6) = - 1 \cdot 1 + 5$

Etapa 6.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (6) = - 1 + 5$

Etapa 6.4.2.2

Some $- 1$ e $5$ .

$f (6) = 4$

Etapa 6.4.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 6.4.3

Converta $4$ em decimal.

$= 4$

Etapa 6.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6.41 \\ 5 & 3.59 \\ 6 & 6 \\ 6 & 4 \\ 7 & 5 \end{array}$

Etapa 7

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(7, 5)$

Foco: $(\frac{27}{4}, 5)$

Eixo de simetria: $y = 5$

Diretriz: $x = \frac{29}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 5 & 6.41 \\ 5 & 3.59 \\ 6 & 6 \\ 6 & 4 \\ 7 & 5 \end{array}$

Etapa 8