Pré-álgebra Exemplos

$2^{X + 3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Reescreva $2^{X + 3}$ como $2^{X} \cdot 2^{3}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X + 1} - 320 = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $4^{X + 1}$ como $4^{X} \cdot 4^{1}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + 4^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Etapa 1.3

Reescreva $2^{X}$ como ${(2^{2})}^{X}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{2})}^{X} \cdot 4 - 320 = 0$

Etapa 1.4

Reescreva ${(2^{2})}^{X}$ como ${(2^{X})}^{2}$ .

$2^{X} \cdot 2^{3} + {(2^{X})}^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Etapa 1.5

Deixe $u = 2^{X}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $2^{X}$ .

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Etapa 1.5.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$u \cdot 8 + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Etapa 1.5.2

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$8 u + u^{2} \cdot 4 - 320 = 0$

Etapa 1.5.3

Mova $4$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$8 u + 4 u^{2} - 320 = 0$

Etapa 1.6

Fatore $4$ de $8 u + 4 u^{2} - 320$ .

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Etapa 1.6.1

Fatore $4$ de $8 u$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} - 320 = 0$

Etapa 1.6.2

Fatore $4$ de $4 u^{2}$ .

$4 (2 u) + 4 (u^{2}) - 320 = 0$

Etapa 1.6.3

Fatore $4$ de $- 320$ .

$4 (2 u) + 4 u^{2} + 4 \cdot - 80 = 0$

Etapa 1.6.4

Fatore $4$ de $4 (2 u) + 4 u^{2}$ .

$4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80 = 0$

Etapa 1.6.5

Fatore $4$ de $4 (2 u + u^{2}) + 4 \cdot - 80$ .

$4 (2 u + u^{2} - 80) = 0$

Etapa 1.7

Fatore.

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Etapa 1.7.1

Fatore $2 u + u^{2} - 80$ usando o método AC.

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Etapa 1.7.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 80$ e cuja soma é $2$ .

$- 8, 10$

Etapa 1.7.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$4 ((u - 8) (u + 10)) = 0$

Etapa 1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (u - 8) (u + 10) = 0$

Etapa 1.8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2^{X}$ .

$4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

$2^{X} + 10 = 0$

Etapa 3

Defina $2^{X} - 8$ como igual a $0$ e resolva para $X$ .

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Etapa 3.1

Defina $2^{X} - 8$ como igual a $0$ .

$2^{X} - 8 = 0$

Etapa 3.2

Resolva $2^{X} - 8 = 0$ para $X$ .

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Etapa 3.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$2^{X} = 8$

Etapa 3.2.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{X} = 2^{3}$

Etapa 3.2.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$X = 3$

Etapa 4

Defina $2^{X} + 10$ como igual a $0$ e resolva para $X$ .

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Etapa 4.1

Defina $2^{X} + 10$ como igual a $0$ .

$2^{X} + 10 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $2^{X} + 10 = 0$ para $X$ .

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Etapa 4.2.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$2^{X} = - 10$

Etapa 4.2.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{X}) = \ln (- 10)$

Etapa 4.2.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 10)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2.4

Não há uma solução para $2^{X} = - 10$

Nenhuma solução

Etapa 5

A solução final são todos os valores que tornam $4 (2^{X} - 8) (2^{X} + 10) = 0$ verdadeiro.

$X = 3$