Pré-álgebra Exemplos

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva $125$ como $5^{3}$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 5^{3}}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})}$

Etapa 1.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x - 5, x^{2} + 5 x + 25, (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.4

O MMC de $1, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$1$

Etapa 2.5

O fator de $x - 5$ é o próprio $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.6

O fator de $x^{2} + 5 x + 25$ é o próprio $x^{2} + 5 x + 25$ .

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.7

O fator de $x - 5$ é o próprio $x - 5$ .

$(x - 5) = x - 5$

$(x - 5)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $x^{2} + 5 x + 25$ é o próprio $x^{2} + 5 x + 25$ .

$(x^{2} + 5 x + 25) = x^{2} + 5 x + 25$

$(x^{2} + 5 x + 25)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O MMC de $x - 5, x^{2} + 5 x + 25, x - 5, x^{2} + 5 x + 25$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ por $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)}$ por $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum de $x - 5$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{x - 5} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$6 x (x^{2} + 5 x + 25) - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x \cdot x^{2} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.3

Simplifique.

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Etapa 3.2.1.3.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.3.1.1

Mova $x^{2}$ .

$6 (x^{2} x) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.3.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 3.2.1.3.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$6 (x^{2} x^{1}) + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.3.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 x^{2 + 1} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.3.1.3

Some $2$ e $1$ .

$6 x^{3} + 6 x (5 x) + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.3.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 6 x \cdot 25 - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.3.3

Multiplique $25$ por $6$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x \cdot x + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.4.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.4.1.1

Mova $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 (x \cdot x) + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x^{3} + 6 \cdot 5 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.4.2

Multiplique $6$ por $5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 5 x + 25$ .

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Etapa 3.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25}$ para o numerador.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.5.2

Fatore $x^{2} + 5 x + 25$ de $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.5.3

Cancele o fator comum.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x + \frac{- 300}{x^{2} + 5 x + 25} ((x^{2} + 5 x + 25) (x - 5)) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.5.4

Reescreva a expressão.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 (x - 5) = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x - 300 \cdot - 5 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.1.7

Multiplique $- 300$ por $- 5$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} + 150 x - 300 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.2.2

Subtraia $300 x$ de $150 x$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = \frac{2250}{(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)} ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25))$

Etapa 3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 = 2250$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $2250$ dos dois lados da equação.

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x + 1500 - 2250 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2250$ de $1500$ .

$6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Etapa 4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.3.1

Fatore $6$ de $6 x^{3} + 30 x^{2} - 150 x - 750$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{3}$ .

$6 (x^{3}) + 30 x^{2} - 150 x - 750 = 0$

Etapa 4.3.1.2

Fatore $6$ de $30 x^{2}$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) - 150 x - 750 = 0$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $6$ de $- 150 x$ .

$6 (x^{3}) + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) - 750 = 0$

Etapa 4.3.1.4

Fatore $6$ de $- 750$ .

$6 x^{3} + 6 (5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Etapa 4.3.1.5

Fatore $6$ de $6 x^{3} + 6 (5 x^{2})$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Etapa 4.3.1.6

Fatore $6$ de $6 (x^{3} + 5 x^{2}) + 6 (- 25 x)$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125 = 0$

Etapa 4.3.1.7

Fatore $6$ de $6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x) + 6 \cdot - 125$ .

$6 (x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125) = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125) = 0$

Etapa 4.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 (x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5)) = 0$

Etapa 4.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 5$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 25)) = 0$

Etapa 4.3.4

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$6 ((x + 5) (x^{2} - 5^{2})) = 0$

Etapa 4.3.5

Fatore.

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Etapa 4.3.5.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 5$ .

$6 ((x + 5) ((x + 5) (x - 5))) = 0$

Etapa 4.3.5.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 4.3.6

Fatore.

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Etapa 4.3.6.1

Combine expoentes.

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Etapa 4.3.6.1.1

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 4.3.6.1.2

Eleve $x + 5$ à potência de $1$ .

$6 ((x + 5) (x + 5) (x - 5)) = 0$

Etapa 4.3.6.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$6 ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5)) = 0$

Etapa 4.3.6.1.4

Some $1$ e $1$ .

$6 ({(x + 5)}^{2} (x - 5)) = 0$

Etapa 4.3.6.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Etapa 4.5

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina ${(x + 5)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Etapa 4.5.2

Resolva ${(x + 5)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 4.5.2.1

Defina $x + 5$ como igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Etapa 4.5.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x = - 5$

Etapa 4.6

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $6 {(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = - 5, 5$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $\frac{6 x}{x - 5} - \frac{300}{x^{2} + 5 x + 25} = \frac{2250}{x^{3} - 125}$ verdadeira.

$x = - 5$