Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = x^{2} + 4 x - y$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Some $y$ aos dois lados da equação.

$y + y = x^{2} + 4 x$

Etapa 1.1.1.1.2

Some $y$ e $y$ .

$2 y = x^{2} + 4 x$

Etapa 1.1.1.2

Divida cada termo em $2 y = x^{2} + 4 x$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Divida cada termo em $2 y = x^{2} + 4 x$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Etapa 1.1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Etapa 1.1.1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{4 x}{2}$

Etapa 1.1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $4 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2}$

Etapa 1.1.1.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 (1)}$

Etapa 1.1.1.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 (2 x)}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x}{1}$

Etapa 1.1.1.2.3.1.2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2} + 2 x$

Etapa 1.1.2

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{2} + 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 1.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.1.2.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.2.3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = 0 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{2}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.4

Divida $4$ por $2$ .

$e = 0 - 1 \cdot 2$

Etapa 1.1.2.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e = 0 - 2$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Subtraia $2$ de $0$ .

$e = - 2$

Etapa 1.1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{2} - 2$

Etapa 1.1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{2} - 2$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 2$

$k = - 2$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, - 2)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2, - \frac{3}{2})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 2$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{2}}{2} + 2 (- 4)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f (- 4) = \frac{16}{2} + 2 (- 4)$

Etapa 2.2.1.2

Divida $16$ por $2$ .

$f (- 4) = 8 + 2 (- 4)$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f (- 4) = 8 - 8$

Etapa 2.2.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$f (- 4) = 0$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 4$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{2} + 2 (- 3)$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + 2 (- 3)$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6$

Etapa 2.5.2

Para escrever $- 6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} - 6 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.5.3

Combine $- 6$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 12}{2}$

Etapa 2.5.5.2

Subtraia $12$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.5.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 3$ é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{2} + 2 (0)$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{0}{2} + 2 (0)$

Etapa 2.8.1.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (0) = 0 + 2 (0)$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 2.8.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 0$ é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{2}}{2} + 2 (- 1)$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + 2 (- 1)$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2$

Etapa 2.11.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.11.3

Combine $- 2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{1 - 2 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.11.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (- 1) = \frac{1 - 4}{2}$

Etapa 2.11.5.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.11.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 1) = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.11.7

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 2, - 2)$

Foco: $(- 2, - \frac{3}{2})$

Eixo de simetria: $x = - 2$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 0 \\ - 3 & - \frac{3}{2} \\ - 2 & - 2 \\ - 1 & - \frac{3}{2} \\ 0 & 0 \end{array}$

Etapa 4