Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e ${(x + 4)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x + 4)}^{2}}{4} + 3$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 3$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 3$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, 3)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique dividindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, 4)$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 4$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 2$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, 3)$

Foco: $(- 4, 4)$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = 2$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, 3)$

Foco: $(- 4, 4)$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = 2$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 7$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 7$

Etapa 2.2.1.2

Divida $36$ por $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 7$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 7$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $12$ de $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 7$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$f (- 6) = 4$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 6$ é $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 7$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 7$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 7$

Etapa 2.5.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Escreva $- 10$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 7$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $\frac{- 10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 7$

Etapa 2.5.2.4

Escreva $7$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Etapa 2.5.2.5

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.5.2.6

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $- 10$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 7 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $7$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 28}{4}$

Etapa 2.5.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Subtraia $40$ de $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Etapa 2.5.5.2

Some $- 15$ e $28$ .

$f (- 5) = \frac{13}{4}$

Etapa 2.5.6

A resposta final é $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 5$ é $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 7$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 7$

Etapa 2.8.1.2

Divida $4$ por $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 7$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 7$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 7$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 3$ e $7$ .

$f (- 2) = 4$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = - 2$ é $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 7$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 7$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 7$

Etapa 2.11.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 7$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 7$

Etapa 2.11.2.3

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 7$

Etapa 2.11.2.4

Escreva $7$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1}$

Etapa 2.11.2.5

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 2.11.2.6

Multiplique $\frac{7}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{7 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 7 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.11.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.1

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 7 \cdot 4}{4}$

Etapa 2.11.4.2

Multiplique $7$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 28}{4}$

Etapa 2.11.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1

Subtraia $24$ de $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 28}{4}$

Etapa 2.11.5.2

Some $- 15$ e $28$ .

$f (- 3) = \frac{13}{4}$

Etapa 2.11.6

A resposta final é $\frac{13}{4}$ .

$\frac{13}{4}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = - 3$ é $\frac{13}{4}$ .

$y = \frac{13}{4}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 4, 3)$

Foco: $(- 4, 4)$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 4 \\ - 5 & \frac{13}{4} \\ - 4 & 3 \\ - 3 & \frac{13}{4} \\ - 2 & 4 \end{array}$

Etapa 4