Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{(2) (1 - \ln (x))}{x^{2}}$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ $\to$ $- \infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{2 (1 - \ln (x))}{x^{2}}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 1.3.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.3.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.3.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.3.2.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{1 - lim_{x \to \infty} \ln (x)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.2

À medida que o logaritmo se aproxima do infinito, o valor chega a $\infty$ .

$2 \frac{1 - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.2.1.2.3.1

Uma constante diferente de zero vezes infinito é igual a infinito.

$2 \frac{1 + - \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.2.3.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$2 \frac{- \infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}$

Etapa 1.3.2.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.3.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$2 \frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 1.3.2.2

Como $\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Etapa 1.3.2.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3.4.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{0 - \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3.5

Subtraia $\frac{1}{x}$ de $0$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Etapa 1.3.2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{1}{x}}{2 x}$

Etapa 1.3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 1.3.2.5

Combine os fatores.

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Etapa 1.3.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{2 x}$ por $\frac{1}{x}$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x \cdot x}$

Etapa 1.3.2.5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x}$

Etapa 1.3.2.5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1} x^{1}}$

Etapa 1.3.2.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{1 + 1}}$

Etapa 1.3.2.5.5

Some $1$ e $1$ .

$2 lim_{x \to \infty} - \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 1.3.3

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.3.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \cdot - 1 lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 x^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.3.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.5.1.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 1$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 1.3.5.1.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2} \cdot 0$

Etapa 1.3.5.1.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 0$

Etapa 1.3.5.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0$

Etapa 1.4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 0$

Etapa 1.5

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = 0$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{(2) (1 - \ln (1))}{{(1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 - 0)}{1^{2}}$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (1) = \frac{2 (1 + 0)}{1^{2}}$

Etapa 2.2.1.3

Some $1$ e $0$ .

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1^{2}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{2 \cdot 1}{1}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = \frac{2}{1}$

Etapa 2.2.2.3

Divida $2$ por $1$ .

$f (1) = 2$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.3

Converta $2$ em decimal.

$y = 2$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{{(2)}^{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Fatore $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{(2) (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{2 (1 - \ln (2))}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = \frac{1 - \ln (2)}{2}$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ .

$\frac{1 - \ln (2)}{2}$

Etapa 3.3

Converta $\frac{1 - \ln (2)}{2}$ em decimal.

$y = 0.1534264$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{(2) (1 - \ln (3))}{{(3)}^{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ .

$\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$

Etapa 4.3

Converta $\frac{2 (1 - \ln (3))}{9}$ em decimal.

$y = - 0.02191384$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 2), (2, 0.1534264), (3, - 0.02191384)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2 \\ 2 & 0.153 \\ 3 & - 0.022 \end{array}$

Etapa 6