Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine ${(x + 1)}^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{{(x + 1)}^{2}}{2} - 3$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x + 1)}^{2} - 3$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = - 1$

$k = - 3$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - 3)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 1.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Etapa 1.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 1.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 1.5.3.3

Divida $4$ por $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, - \frac{7}{2})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 1$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 1, - 3)$

Foco: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Eixo de simetria: $x = - 1$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 1, - 3)$

Foco: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Eixo de simetria: $x = - 1$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{2} - (- 3) - \frac{7}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- {(- 3)}^{2} - 7}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.2.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 1 \cdot 9 - 7}{2}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 9 - 7}{2}$

Etapa 2.2.3

Subtraia $7$ de $- 9$ .

$f (- 3) = - (- 3) + \frac{- 16}{2}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 3 + \frac{- 16}{2}$

Etapa 2.2.4.2

Divida $- 16$ por $2$ .

$f (- 3) = 3 - 8$

Etapa 2.2.5

Subtraia $8$ de $3$ .

$f (- 3) = - 5$

Etapa 2.2.6

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 3$ é $- 5$ .

$y = - 5$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{2} - (- 2) - \frac{7}{2}$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- {(- 2)}^{2} - 7}{2}$

Etapa 2.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 1 \cdot 4 - 7}{2}$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 4 - 7}{2}$

Etapa 2.5.3

Subtraia $7$ de $- 4$ .

$f (- 2) = - (- 2) + \frac{- 11}{2}$

Etapa 2.5.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \frac{- 11}{2}$

Etapa 2.5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = 2 - \frac{11}{2}$

Etapa 2.5.5

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{11}{2}$

Etapa 2.5.6

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{11}{2}$

Etapa 2.5.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2 - 11}{2}$

Etapa 2.5.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.8.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- 2) = \frac{4 - 11}{2}$

Etapa 2.5.8.2

Subtraia $11$ de $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 7}{2}$

Etapa 2.5.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{7}{2}$

Etapa 2.5.10

A resposta final é $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 2$ é $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} - (1) - \frac{7}{2}$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = - (1) + \frac{- {(1)}^{2} - 7}{2}$

Etapa 2.8.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 \cdot 1 - 7}{2}$

Etapa 2.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 1 - 7}{2}$

Etapa 2.8.3

Subtraia $7$ de $- 1$ .

$f (1) = - (1) + \frac{- 8}{2}$

Etapa 2.8.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.8.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = - 1 + \frac{- 8}{2}$

Etapa 2.8.4.2

Divida $- 8$ por $2$ .

$f (1) = - 1 - 4$

Etapa 2.8.5

Subtraia $4$ de $- 1$ .

$f (1) = - 5$

Etapa 2.8.6

A resposta final é $- 5$ .

$- 5$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 1$ é $- 5$ .

$y = - 5$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{2} - (0) - \frac{7}{2}$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (0) = - (0) + \frac{- {(0)}^{2} - 7}{2}$

Etapa 2.11.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 0 - 7}{2}$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{0 - 7}{2}$

Etapa 2.11.3

Subtraia $7$ de $0$ .

$f (0) = - (0) + \frac{- 7}{2}$

Etapa 2.11.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.11.4.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + \frac{- 7}{2}$

Etapa 2.11.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (0) = 0 - \frac{7}{2}$

Etapa 2.11.5

Subtraia $\frac{7}{2}$ de $0$ .

$f (0) = - \frac{7}{2}$

Etapa 2.11.6

A resposta final é $- \frac{7}{2}$ .

$- \frac{7}{2}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 0$ é $- \frac{7}{2}$ .

$y = - \frac{7}{2}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 1, - 3)$

Foco: $(- 1, - \frac{7}{2})$

Eixo de simetria: $x = - 1$

Diretriz: $y = - \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 5 \\ - 2 & - \frac{7}{2} \\ - 1 & - 3 \\ 0 & - \frac{7}{2} \\ 1 & - 5 \end{array}$

Etapa 4