Pré-álgebra Exemplos

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y - 59 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $59$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $9 x^{2} - 54 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 54$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 27}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 27$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $9$ de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 3}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 54$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Etapa 1.3

Substitua $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ por $9 x^{2} - 54 x$ na equação $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81 + 4 y^{2} - 8 y = 59$

Etapa 1.4

Mova $- 81$ para o lado direito da equação, somando $81$ aos dois lados.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 y^{2} - 8 y = 59 + 81$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $4 y^{2} - 8 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 4}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $64$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 0 - 4$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $4$ de $0$ .

$e = - 4$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Etapa 1.6

Substitua $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ por $4 y^{2} - 8 y$ na equação $9 x^{2} + 4 y^{2} - 54 x - 8 y = 59$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} - 4 = 59 + 81$

Etapa 1.7

Mova $- 4$ para o lado direito da equação, somando $4$ aos dois lados.

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 59 + 81 + 4$

Etapa 1.8

Simplifique $59 + 81 + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $59$ e $81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 140 + 4$

Etapa 1.8.2

Some $140$ e $4$ .

$9 {(x - 3)}^{2} + 4 {(y - 1)}^{2} = 144$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $144$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} + \frac{4 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{36} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 6$

$b = 4$

$k = 1$

$h = 3$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(3, 1)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - {(4)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 - 1 \cdot 16}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\sqrt{36 - 16}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $16$ de $36$ .

$\sqrt{20}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(3, 1 + 6)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(3, 7)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(3, 1 - (6))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(3, - 5)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(3, 1 - (2 \sqrt{5}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} - {(4)}^{2}}}{6}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 4^{2}}}{6}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 - 1 \cdot 16}}{6}$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$\frac{\sqrt{36 - 16}}{6}$

Etapa 8.3.1.4

Subtraia $16$ de $36$ .

$\frac{\sqrt{20}}{6}$

Etapa 8.3.1.5

Reescreva $20$ como $2^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.5.1

Fatore $4$ de $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{6}$

Etapa 8.3.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{6}$

Etapa 8.3.1.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{5}}{6}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 (\sqrt{5})}{6}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(3, 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(3, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(3, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(3, 1 + 2 \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(3, 1 - 2 \sqrt{5})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 10