Pré-álgebra Exemplos

$9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y - 11 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $11$ aos dois lados da equação.

$9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y = 11$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $9 x^{2} + 18 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 18$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{18}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $18$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $18$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 (9)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 9}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{9}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{9}{9}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{18^{2}}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $18$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot 9}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{324}{36}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $324$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 9$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = 0 - 9$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $9$ de $0$ .

$e = - 9$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $9 {(x + 1)}^{2} - 9$ .

$9 {(x + 1)}^{2} - 9$

Etapa 1.3

Substitua $9 {(x + 1)}^{2} - 9$ por $9 x^{2} + 18 x$ na equação $9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y = 11$ .

$9 {(x + 1)}^{2} - 9 + 4 y^{2} + 16 y = 11$

Etapa 1.4

Mova $- 9$ para o lado direito da equação, somando $9$ aos dois lados.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 y^{2} + 16 y = 11 + 9$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $4 y^{2} + 16 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 16$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (4)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 4}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{8}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $256$ por $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$e = 0 - 16$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$e = - 16$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(y + 2)}^{2} - 16$

Etapa 1.6

Substitua $4 {(y + 2)}^{2} - 16$ por $4 y^{2} + 16 y$ na equação $9 x^{2} + 18 x + 4 y^{2} + 16 y = 11$ .

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} - 16 = 11 + 9$

Etapa 1.7

Mova $- 16$ para o lado direito da equação, somando $16$ aos dois lados.

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 11 + 9 + 16$

Etapa 1.8

Simplifique $11 + 9 + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $11$ e $9$ .

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 20 + 16$

Etapa 1.8.2

Some $20$ e $16$ .

$9 {(x + 1)}^{2} + 4 {(y + 2)}^{2} = 36$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $36$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{9 {(x + 1)}^{2}}{36} + \frac{4 {(y + 2)}^{2}}{36} = \frac{36}{36}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 3$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = - 1$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 1, - 2)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 - {(2)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{9 - 1 \cdot 4}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\sqrt{9 - 4}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $4$ de $9$ .

$\sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, - 2 + 3)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(- 1, 1)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, - 2 - (3))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- 1, - 5)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 5)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 5)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(- 1, - 2 - (\sqrt{5}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(2)}^{2}}}{3}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 2^{2}}}{3}$

Etapa 8.3.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - 1 \cdot 4}}{3}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{9 - 4}}{3}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $4$ de $9$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(- 1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 5)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, - 2 + \sqrt{5})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - 2 - \sqrt{5})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 10