Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{| x - 1 |}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente a função do valor absoluto.

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Etapa 1.1

Defina o denominador em $\frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$| x - 1 | = 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Remova o termo de valor absoluto. Isso cria um $\pm$ no lado direito da equação, porque $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm 0$

Etapa 1.2.2

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 1.2.3

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 1}$

Etapa 2

Para cada valor $x$ , há um valor $y$ . Selecione alguns valores $x$ do domínio. O mais útil é selecionar os valores para que eles fiquem em torno do valor $x$ do vértice do valor absoluto.

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Etapa 2.1

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, 1)$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{((- 2) + 1) ((- 2) - 1)}{| (- 2) - 1 |}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.1.2.1.1

Some $- 2$ e $1$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 (- 2 - 1)}{| - 2 - 1 |}$

Etapa 2.1.2.1.2

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 2 - 1 |}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{| - 3 |}$

Etapa 2.1.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 3$ e $0$ é $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 3}{3}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 2) = \frac{3}{3}$

Etapa 2.1.2.3.2

Divida $3$ por $3$ .

$f (- 2) = 1$

Etapa 2.1.2.4

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 2.2

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, 0)$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{((- 1) + 1) ((- 1) - 1)}{| (- 1) - 1 |}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.2.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$f (- 1) = \frac{0 (- 1 - 1)}{| - 1 - 1 |}$

Etapa 2.2.2.1.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 1 - 1 |}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{| - 2 |}$

Etapa 2.2.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 2$ e $0$ é $2$ .

$f (- 1) = \frac{0 \cdot - 2}{2}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 2$ .

$f (- 1) = \frac{0}{2}$

Etapa 2.2.2.3.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (- 1) = 0$

Etapa 2.2.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 2.3

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 1)$ .

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Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = \frac{((0) + 1) ((0) - 1)}{| (0) - 1 |}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva $0$ como $- 1 (0)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 + 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$f (0) = \frac{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1) (0 - 1)}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.1.3

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.1.4

Eleve $0 - 1$ à potência de $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.1.5

Eleve $0 - 1$ à potência de $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot ((0 - 1) (0 - 1))}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{1 + 1}}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.1.7

Some $1$ e $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| 0 - 1 |}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.2.2.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{| - 1 |}$

Etapa 2.3.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $- 1$ e $0$ é $1$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot {(0 - 1)}^{2}}{1}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.3.1

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (0) = \frac{- 1 {(- 1)}^{2}}{1}$

Etapa 2.3.2.3.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (0) = \frac{- 1 \cdot 1}{1}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.2.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (0) = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.3.2.4.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$f (0) = - 1$

Etapa 2.3.2.5

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 2.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \frac{(x + 1) (x - 1)}{| x - 1 |}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 3)$ .

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Etapa 2.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{((2) + 1) ((2) - 1)}{| (2) - 1 |}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.4.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.1.1

Some $2$ e $1$ .

$f (2) = \frac{3 (2 - 1)}{| 2 - 1 |}$

Etapa 2.4.2.1.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 2 - 1 |}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.4.2.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.2.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$f (2) = \frac{3 \cdot 1}{1}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.4.2.3.1

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (2) = \frac{3}{1}$

Etapa 2.4.2.3.2

Divida $3$ por $1$ .

$f (2) = 3$

Etapa 2.4.2.4

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 2.5

O valor absoluto pode ser representado graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- 2, 1), (- 1, 0), (0, - 1), (2, 3)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \\ 2 & 3 \end{array}$

Etapa 3