Pré-álgebra Exemplos

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y - 8 = 0$

Etapa 1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$81 x^{2} + 81 y^{2} - 36 x + 36 y = 8$

Etapa 2

Divida os dois lados da equação por $81$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

Etapa 3

Complete o quadrado de $x^{2} - \frac{4 x}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{4}{9}$

$c = 0$

Etapa 3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- \frac{4}{9}}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{9}$ para o numerador.

$d = \frac{- 4}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{9} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{9}$

Etapa 3.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{2}{9}$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.5

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{81})}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{16}{81}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 3.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 3.4.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 3.4.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $\frac{4}{81}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{81}$

Etapa 3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

Etapa 4

Substitua ${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ por $x^{2} - \frac{4 x}{9}$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$

Etapa 5

Mova $- \frac{4}{81}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{4}{81}$ aos dois lados.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + y^{2} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

Etapa 6

Complete o quadrado de $y^{2} + \frac{4 y}{9}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{4}{9}$

$c = 0$

Etapa 6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{4}{9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2.2

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (2)}{9} \cdot \frac{1}{2 (1)}$

Etapa 6.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 2}{9} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{9}$

Etapa 6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{4}{9})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{9}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4^{2}}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.1.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{81}}{4}$

Etapa 6.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{16}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 6.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 6.4.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{81} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 6.4.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{81}$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $\frac{4}{81}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{81}$

Etapa 6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ .

${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$

Etapa 7

Substitua ${(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81}$ por $y^{2} + \frac{4 y}{9}$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{9} + \frac{4 y}{9} = \frac{8}{81}$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} - \frac{4}{81} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81}$

Etapa 8

Mova $- \frac{4}{81}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{4}{81}$ aos dois lados.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$

Etapa 9

Simplifique $\frac{8}{81} + \frac{4}{81} + \frac{4}{81}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{8 + 4 + 4}{81}$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $8$ e $4$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{12 + 4}{81}$

Etapa 9.2.2

Some $12$ e $4$ .

${(x - \frac{2}{9})}^{2} + {(y + \frac{2}{9})}^{2} = \frac{16}{81}$

Etapa 10

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 11

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{4}{9}$

$h = \frac{2}{9}$

$k = - \frac{2}{9}$

Etapa 12

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

Etapa 13

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(\frac{2}{9}, - \frac{2}{9})$

Raio: $\frac{4}{9}$

Etapa 14