Pré-álgebra Exemplos

$7 y - 2 = 15 y + 10 x^{2} + 4$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que contêm $y$ para o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $15 y$ dos dois lados da equação.

$7 y - 2 - 15 y = 10 x^{2} + 4$

Etapa 1.1.2

Subtraia $15 y$ de $7 y$ .

$- 8 y - 2 = 10 x^{2} + 4$

Etapa 1.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- 8 y = 10 x^{2} + 4 + 2$

Etapa 1.2.2

Some $4$ e $2$ .

$- 8 y = 10 x^{2} + 6$

Etapa 1.3

Divida cada termo em $- 8 y = 10 x^{2} + 6$ por $- 8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Divida cada termo em $- 8 y = 10 x^{2} + 6$ por $- 8$ .

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{10 x^{2}}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 8 y}{- 8} = \frac{10 x^{2}}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{10 x^{2}}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $10$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $10 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{- 8} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{2 (- 4)} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{2 (5 x^{2})}{2 \cdot - 4} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{5 x^{2}}{- 4} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{6}{- 8}$

Etapa 1.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $6$ e $- 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{2 (3)}{- 8}$

Etapa 1.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1.3.2.1

Fatore $2$ de $- 8$ .

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.3.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 4}$

Etapa 1.3.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} + \frac{3}{- 4}$

Etapa 1.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{5 x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{5 x^{2}}{4} - \frac{3}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{5}{4}$

$b = 0$

$c = - \frac{3}{4}$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 0 (- \frac{4}{5})$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $0 (- \frac{4}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$d = 0 (\frac{4}{5})$

Etapa 2.1.1.3.2.3.2

Multiplique $0$ por $\frac{4}{5}$ .

$d = 0$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{4 (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{- 4 (\frac{5}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{5}{4}$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{\frac{- 4 \cdot 5}{4}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{\frac{- 20}{4}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Divida $- 20$ por $4$ .

$e = - \frac{3}{4} - \frac{0}{- 5}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Divida $0$ por $- 5$ .

$e = - \frac{3}{4} - 0$

Etapa 2.1.1.4.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = - \frac{3}{4} + 0$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $- \frac{3}{4}$ e $0$ .

$e = - \frac{3}{4}$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{5}{4} {(x + 0)}^{2} - \frac{3}{4}$ .

$- \frac{5}{4} {(x + 0)}^{2} - \frac{3}{4}$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{5}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} - \frac{3}{4}$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{5}{4}$

$h = 0$

$k = - \frac{3}{4}$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, - \frac{3}{4})$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{5}{4})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{5}{4})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{5}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.3.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$- \frac{1}{\frac{20}{4}}$

Etapa 2.5.3.3.2

Divida $20$ por $4$ .

$- \frac{1}{5}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, - \frac{19}{20})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 0$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{11}{20}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, - \frac{3}{4})$

Foco: $(0, - \frac{19}{20})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = - \frac{11}{20}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, - \frac{3}{4})$

Foco: $(0, - \frac{19}{20})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = - \frac{11}{20}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{5 {(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- 5 {(- 1)}^{2} - 3}{4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{- 5 \cdot 1 - 3}{4}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 5 - 3}{4}$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$f (- 1) = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.2.3.2

Divida $- 8$ por $4$ .

$f (- 1) = - 2$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 1$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - \frac{5 {(- 2)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{- 5 {(- 2)}^{2} - 3}{4}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 5 \cdot 4 - 3}{4}$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 20 - 3}{4}$

Etapa 3.5.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Subtraia $3$ de $- 20$ .

$f (- 2) = \frac{- 23}{4}$

Etapa 3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{23}{4}$

Etapa 3.5.4

A resposta final é $- \frac{23}{4}$ .

$- \frac{23}{4}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 2$ é $- \frac{23}{4}$ .

$y = - \frac{23}{4}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{5 {(1)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{- 5 {(1)}^{2} - 3}{4}$

Etapa 3.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{- 5 \cdot 1 - 3}{4}$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$f (1) = \frac{- 5 - 3}{4}$

Etapa 3.8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Subtraia $3$ de $- 5$ .

$f (1) = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.8.3.2

Divida $- 8$ por $4$ .

$f (1) = - 2$

Etapa 3.8.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 1$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - \frac{5 {(3)}^{2}}{4} - \frac{3}{4}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{- 5 {(3)}^{2} - 3}{4}$

Etapa 3.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{- 5 \cdot 9 - 3}{4}$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $- 5$ por $9$ .

$f (3) = \frac{- 45 - 3}{4}$

Etapa 3.11.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Subtraia $3$ de $- 45$ .

$f (3) = \frac{- 48}{4}$

Etapa 3.11.3.2

Divida $- 48$ por $4$ .

$f (3) = - 12$

Etapa 3.11.4

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 3$ é $- 12$ .

$y = - 12$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{23}{4} \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - \frac{3}{4} \\ 1 & - 2 \\ 3 & - 12 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, - \frac{3}{4})$

Foco: $(0, - \frac{19}{20})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = - \frac{11}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & - \frac{23}{4} \\ - 1 & - 2 \\ 0 & - \frac{3}{4} \\ 1 & - 2 \\ 3 & - 12 \end{array}$

Etapa 5