Pré-álgebra Exemplos

$f (x) = 5 {(x - 4)}^{2} - 3$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 5$

$h = 4$

$k = - 3$

Etapa 1.2

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.3

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, - 3)$

Etapa 1.4

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.4.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.4.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.4.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{1}{20}$

Etapa 1.5

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.5.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - \frac{59}{20})$

Etapa 1.6

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 1.7

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.7.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.7.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{61}{20}$

Etapa 1.8

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{59}{20})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{61}{20}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{59}{20})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{61}{20}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 5 {(3)}^{2} - 40 \cdot 3 + 77$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = 5 \cdot 9 - 40 \cdot 3 + 77$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $5$ por $9$ .

$f (3) = 45 - 40 \cdot 3 + 77$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 40$ por $3$ .

$f (3) = 45 - 120 + 77$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Subtraia $120$ de $45$ .

$f (3) = - 75 + 77$

Etapa 2.2.2.2

Some $- 75$ e $77$ .

$f (3) = 2$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 3$ é $2$ .

$y = 2$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = 5 {(2)}^{2} - 40 \cdot 2 + 77$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 5 \cdot 4 - 40 \cdot 2 + 77$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$f (2) = 20 - 40 \cdot 2 + 77$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $- 40$ por $2$ .

$f (2) = 20 - 80 + 77$

Etapa 2.5.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Subtraia $80$ de $20$ .

$f (2) = - 60 + 77$

Etapa 2.5.2.2

Some $- 60$ e $77$ .

$f (2) = 17$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $17$ .

$17$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 2$ é $17$ .

$y = 17$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = 5 {(5)}^{2} - 40 \cdot 5 + 77$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Multiplique $5$ por ${(5)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1

Multiplique $5$ por ${(5)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1.1.1

Eleve $5$ à potência de $1$ .

$f (5) = 5 {(5)}^{2} - 40 \cdot 5 + 77$

Etapa 2.8.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (5) = 5^{1 + 2} - 40 \cdot 5 + 77$

Etapa 2.8.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (5) = 5^{3} - 40 \cdot 5 + 77$

Etapa 2.8.1.2

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$f (5) = 125 - 40 \cdot 5 + 77$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $- 40$ por $5$ .

$f (5) = 125 - 200 + 77$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $200$ de $125$ .

$f (5) = - 75 + 77$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 75$ e $77$ .

$f (5) = 2$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 5$ é $2$ .

$y = 2$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = 5 {(6)}^{2} - 40 \cdot 6 + 77$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = 5 \cdot 36 - 40 \cdot 6 + 77$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $5$ por $36$ .

$f (6) = 180 - 40 \cdot 6 + 77$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $- 40$ por $6$ .

$f (6) = 180 - 240 + 77$

Etapa 2.11.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Subtraia $240$ de $180$ .

$f (6) = - 60 + 77$

Etapa 2.11.2.2

Some $- 60$ e $77$ .

$f (6) = 17$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $17$ .

$17$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 6$ é $17$ .

$y = 17$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 17 \\ 3 & 2 \\ 4 & - 3 \\ 5 & 2 \\ 6 & 17 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(4, - 3)$

Foco: $(4, - \frac{59}{20})$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = - \frac{61}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 17 \\ 3 & 2 \\ 4 & - 3 \\ 5 & 2 \\ 6 & 17 \end{array}$

Etapa 4