Pré-álgebra Exemplos

$x = 5 y^{2} - 4 y - 2$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $5 y^{2} - 4 y - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 5$

$b = - 4$

$c = - 2$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 5$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (5)}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{5}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{2}{5}$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (4)$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.4

Multiplique $4^{2}$ por $1$ .

$e = - 2 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.5

Fatore $4$ de $4^{2}$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.6.1

Fatore $4$ de $4 \cdot 5$ .

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 (5)}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$e = - 2 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$e = - 2 - \frac{4}{5}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$e = - 2 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 1.1.1.4.2.3

Combine $- 2$ e $\frac{5}{5}$ .

$e = \frac{- 2 \cdot 5}{5} - \frac{4}{5}$

Etapa 1.1.1.4.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 2 \cdot 5 - 4}{5}$

Etapa 1.1.1.4.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$e = \frac{- 10 - 4}{5}$

Etapa 1.1.1.4.2.5.2

Subtraia $4$ de $- 10$ .

$e = \frac{- 14}{5}$

Etapa 1.1.1.4.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e = - \frac{14}{5}$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$ .

$5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$

Etapa 1.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = 5 {(y - \frac{2}{5})}^{2} - \frac{14}{5}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 5$

$h = - \frac{14}{5}$

$k = \frac{2}{5}$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.5.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{1}{20}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = \frac{2}{5}$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{57}{20}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Foco: $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Eixo de simetria: $y = \frac{2}{5}$

Diretriz: $x = - \frac{57}{20}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Foco: $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Eixo de simetria: $y = \frac{2}{5}$

Diretriz: $x = - \frac{57}{20}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua o valor $x$ $- 1.8$ em $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1.7\overline{9}, \frac{2 + \sqrt{5}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.8$ na expressão.

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 1.8)}}{5}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 1.8$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 + 9)}}{5}$

Etapa 2.1.2.1.2

Some $- 14$ e $9$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 5}}{5}$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.1.2.2

A resposta final é $\frac{2 + \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.2

Substitua o valor $x$ $- 1.8$ em $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1.7\overline{9}, \frac{2 - \sqrt{5}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.8$ na expressão.

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 1.8)}}{5}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 1.8$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 + 9)}}{5}$

Etapa 2.2.2.1.2

Some $- 14$ e $9$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 5}}{5}$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 1.8) = \frac{2 - \sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.2.2.2

A resposta final é $\frac{2 - \sqrt{5}}{5}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{5}}{5}$

Etapa 2.3

Substitua o valor $x$ $- 0.8$ em $f (x) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 0.7\overline{9}, \frac{2 + \sqrt{10}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.8$ na expressão.

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 0.8)}}{5}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 0.8$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 (- 14 + 4)}}{5}$

Etapa 2.3.2.1.2

Some $- 14$ e $4$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{- 1 \cdot - 10}}{5}$

Etapa 2.3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 + \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.3.2.2

A resposta final é $\frac{2 + \sqrt{10}}{5}$ .

$y = \frac{2 + \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.4

Substitua o valor $x$ $- 0.8$ em $f (x) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 x)}}{5}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 0.7\overline{9}, \frac{2 - \sqrt{10}}{5})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.8$ na expressão.

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 - 5 \cdot - 0.8)}}{5}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $- 0.8$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 (- 14 + 4)}}{5}$

Etapa 2.4.2.1.2

Some $- 14$ e $4$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{- 1 \cdot - 10}}{5}$

Etapa 2.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f (- 0.8) = \frac{2 - \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.4.2.2

A resposta final é $\frac{2 - \sqrt{10}}{5}$ .

$y = \frac{2 - \sqrt{10}}{5}$

Etapa 2.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} \\ - 1.8 & 0.85 \\ - 1.8 & - 0.05 \\ - 0.8 & 1.03 \\ - 0.8 & - 0.23 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{14}{5}, \frac{2}{5})$

Foco: $(- \frac{11}{4}, \frac{2}{5})$

Eixo de simetria: $y = \frac{2}{5}$

Diretriz: $x = - \frac{57}{20}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{14}{5} & \frac{2}{5} \\ - 1.8 & 0.85 \\ - 1.8 & - 0.05 \\ - 0.8 & 1.03 \\ - 0.8 & - 0.23 \end{array}$

Etapa 4