Pré-álgebra Exemplos

Gráfico 4x^2-16y^2-56x+160y-268=0
Etapa 1
Encontre a forma padrão da hipérbole.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 1.2
Complete o quadrado de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Use a forma para encontrar os valores de , e .
Etapa 1.2.2
Considere a forma de vértice de uma parábola.
Etapa 1.2.3
Encontre o valor de usando a fórmula .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.1
Substitua os valores de e na fórmula .
Etapa 1.2.3.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.1
Fatore de .
Etapa 1.2.3.2.1.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.1.2.1
Fatore de .
Etapa 1.2.3.2.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.3.2.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.2.3.2.2
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.2.1
Fatore de .
Etapa 1.2.3.2.2.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.3.2.2.2.1
Fatore de .
Etapa 1.2.3.2.2.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.2.3.2.2.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.2.3.2.2.2.4
Divida por .
Etapa 1.2.4
Encontre o valor de usando a fórmula .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.1
Substitua os valores de , e na fórmula .
Etapa 1.2.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.4.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.2.4.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.2.4.2.1.3
Divida por .
Etapa 1.2.4.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.2.4.2.2
Subtraia de .
Etapa 1.2.5
Substitua os valores de , e na forma do vértice .
Etapa 1.3
Substitua por na equação .
Etapa 1.4
Mova para o lado direito da equação, somando aos dois lados.
Etapa 1.5
Complete o quadrado de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.1
Use a forma para encontrar os valores de , e .
Etapa 1.5.2
Considere a forma de vértice de uma parábola.
Etapa 1.5.3
Encontre o valor de usando a fórmula .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.1
Substitua os valores de e na fórmula .
Etapa 1.5.3.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1.1
Fatore de .
Etapa 1.5.3.2.1.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.1.2.1
Fatore de .
Etapa 1.5.3.2.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 1.5.3.2.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 1.5.3.2.2
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.3.2.2.1
Fatore de .
Etapa 1.5.3.2.2.2
Mova o número negativo do denominador de .
Etapa 1.5.3.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.5.4
Encontre o valor de usando a fórmula .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.4.1
Substitua os valores de , e na fórmula .
Etapa 1.5.4.2
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.4.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.5.4.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 1.5.4.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.1.3
Divida por .
Etapa 1.5.4.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 1.5.4.2.2
Some e .
Etapa 1.5.5
Substitua os valores de , e na forma do vértice .
Etapa 1.6
Substitua por na equação .
Etapa 1.7
Mova para o lado direito da equação, somando aos dois lados.
Etapa 1.8
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.8.1
Some e .
Etapa 1.8.2
Subtraia de .
Etapa 1.9
Divida cada termo por para que o lado direito seja igual a um.
Etapa 1.10
Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja .
Etapa 2
Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.
Etapa 3
Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável representa o deslocamento de x em relação à origem, representa o deslocamento de y em relação à origem, .
Etapa 4
O centro de uma hipérbole segue a forma de . Substitua os valores de e .
Etapa 5
Encontre , a distância do centro até um foco.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.
Etapa 5.2
Substitua os valores de e na fórmula.
Etapa 5.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.1
Eleve à potência de .
Etapa 5.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 5.3.3
Some e .
Etapa 5.3.4
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.3.4.1
Fatore de .
Etapa 5.3.4.2
Reescreva como .
Etapa 5.3.5
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 6
Encontre os vértices.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar com .
Etapa 6.2
Substitua os valores conhecidos de , e na fórmula e simplifique.
Etapa 6.3
O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair de .
Etapa 6.4
Substitua os valores conhecidos de , e na fórmula e simplifique.
Etapa 6.5
Os vértices de uma hipérbole seguem a forma . As hipérboles têm dois vértices.
Etapa 7
Encontre o ponto imaginário.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar com .
Etapa 7.2
Substitua os valores conhecidos de , e na fórmula e simplifique.
Etapa 7.3
O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair de .
Etapa 7.4
Substitua os valores conhecidos de , e na fórmula e simplifique.
Etapa 7.5
O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de . As hipérboles têm dois pontos imaginários.
Etapa 8
Encontre a excentricidade.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.1
Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.
Etapa 8.2
Substitua os valores de e na fórmula.
Etapa 8.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 8.3.1.3
Some e .
Etapa 8.3.1.4
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.1.4.1
Fatore de .
Etapa 8.3.1.4.2
Reescreva como .
Etapa 8.3.1.5
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 8.3.2
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.2.1
Fatore de .
Etapa 8.3.2.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 8.3.2.2.1
Fatore de .
Etapa 8.3.2.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 8.3.2.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 9
Encontre o parâmetro focal.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.
Etapa 9.2
Substitua os valores de e na fórmula.
Etapa 9.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1.1
Fatore de .
Etapa 9.3.1.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.1.2.1
Fatore de .
Etapa 9.3.1.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 9.3.1.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 9.3.2
Multiplique por .
Etapa 9.3.3
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.3.1
Multiplique por .
Etapa 9.3.3.2
Eleve à potência de .
Etapa 9.3.3.3
Eleve à potência de .
Etapa 9.3.3.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 9.3.3.5
Some e .
Etapa 9.3.3.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.3.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 9.3.3.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 9.3.3.6.3
Combine e .
Etapa 9.3.3.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.3.3.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 9.3.3.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 9.3.3.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 10
As assíntotas seguem a forma , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.
Etapa 11
Simplifique para encontrar a primeira assíntota.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Remova os parênteses.
Etapa 11.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 11.2.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 11.2.1.3
Combine e .
Etapa 11.2.1.4
Combine e .
Etapa 11.2.1.5
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 11.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 11.2.3
Combine e .
Etapa 11.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 11.2.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.5.1
Multiplique por .
Etapa 11.2.5.2
Some e .
Etapa 12
Simplifique para encontrar a segunda assíntota.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.1
Remova os parênteses.
Etapa 12.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.1.1
Multiplique por .
Etapa 12.2.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 12.2.1.3
Combine e .
Etapa 12.2.1.4
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.1.4.1
Multiplique por .
Etapa 12.2.1.4.2
Combine e .
Etapa 12.2.2
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 12.2.3
Combine e .
Etapa 12.2.4
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 12.2.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 12.2.5.1
Multiplique por .
Etapa 12.2.5.2
Some e .
Etapa 13
Essa hipérbole tem duas assíntotas.
Etapa 14
Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.
Centro:
Vértices:
Ponto imaginário:
Excentricidade:
Parâmetro focal:
Assíntotas: ,
Etapa 15