Pré-álgebra Exemplos

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 81$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $81$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{4 x^{2}}{81} + \frac{9 y^{2}}{81} = \frac{81}{81}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{81}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{9}{2}$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9}$

Etapa 5.3.5

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9}$

Etapa 5.3.6

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}}$

Etapa 5.3.7

Combine $- 9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}}$

Etapa 5.3.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}}$

Etapa 5.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}}$

Etapa 5.3.9.2

Subtraia $36$ de $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}}$

Etapa 5.3.10

Reescreva $\sqrt{\frac{45}{4}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.1

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.11.1.1

Fatore $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.11.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.11.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}}$

Etapa 5.3.12

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.12.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 5.3.12.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \frac{9}{2}, 0)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(\frac{9}{2}, 0)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\frac{9}{2}), 0)$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(- \frac{9}{2}, 0)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 + \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Etapa 7.4

O segundo foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0 - (\frac{3 \sqrt{5}}{2}), 0)$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - {(3)}^{2}}}{\frac{9}{2}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{9}{2})}^{2} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{9}{2}$ .

$\sqrt{\frac{9^{2}}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.3

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{2^{2}} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 3^{2}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 1 \cdot 9} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.6

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.7

Para escrever $- 9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} - 9 \cdot \frac{4}{4}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.8

Combine $- 9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{81}{4} + \frac{- 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{81 - 9 \cdot 4}{4}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.10.1

Multiplique $- 9$ por $4$ .

$\sqrt{\frac{81 - 36}{4}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.10.2

Subtraia $36$ de $81$ .

$\sqrt{\frac{45}{4}} \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.11

Reescreva $\sqrt{\frac{45}{4}}$ como $\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1.1

Fatore $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.12.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.12.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{4}} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.13

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{2^{2}}} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.13.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.14

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.14.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.14.1.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{9}$

Etapa 8.3.14.1.2

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{2} \cdot \frac{2}{3 (3)}$

Etapa 8.3.14.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3 \cdot 3}$

Etapa 8.3.14.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.14.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.14.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{2}{3}$

Etapa 8.3.14.2.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{5} \frac{1}{3}$

Etapa 8.3.14.3

Combine $\sqrt{5}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{9}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{9}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{3 \sqrt{5}}{2}, 0)$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Etapa 10