Pré-álgebra Exemplos

$49 x^{2} + 25 y^{2} = 1225$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo por $1225$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{49 x^{2}}{1225} + \frac{25 y^{2}}{1225} = \frac{1225}{1225}$

Etapa 1.2

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{49} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = 7$

$b = 5$

$k = 0$

$h = 0$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

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Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\sqrt{49 - {(5)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\sqrt{49 - 1 \cdot 25}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\sqrt{49 - 25}$

Etapa 5.3.4

Subtraia $25$ de $49$ .

$\sqrt{24}$

Etapa 5.3.5

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Fatore $4$ de $24$ .

$\sqrt{4 (6)}$

Etapa 5.3.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 6}$

Etapa 5.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 \sqrt{6}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 7)$

Etapa 6.3

Simplifique.

$(0, 7)$

Etapa 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (7))$

Etapa 6.6

Simplifique.

$(0, - 7)$

Etapa 6.7

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 + 2 \sqrt{6})$

Etapa 7.3

Simplifique.

$(0, 2 \sqrt{6})$

Etapa 7.4

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.5

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(0, 0 - (2 \sqrt{6}))$

Etapa 7.6

Simplifique.

$(0, - 2 \sqrt{6})$

Etapa 7.7

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

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Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - {(5)}^{2}}}{7}$

Etapa 8.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 5^{2}}}{7}$

Etapa 8.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{49 - 1 \cdot 25}}{7}$

Etapa 8.3.3

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{\sqrt{49 - 25}}{7}$

Etapa 8.3.4

Subtraia $25$ de $49$ .

$\frac{\sqrt{24}}{7}$

Etapa 8.3.5

Reescreva $24$ como $2^{2} \cdot 6$ .

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Etapa 8.3.5.1

Fatore $4$ de $24$ .

$\frac{\sqrt{4 (6)}}{7}$

Etapa 8.3.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 6}}{7}$

Etapa 8.3.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 7)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(0, 2 \sqrt{6})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - 2 \sqrt{6})$

Excentricidade: $\frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Etapa 10