Pré-álgebra Exemplos

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y - 19 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da elipse.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $19$ aos dois lados da equação.

$5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $5 x^{2} - 27 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 5$

$b = - 27$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 27}{2 \cdot 5}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Multiplique $2$ por $5$ .

$d = \frac{- 27}{10}$

Etapa 1.2.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{27}{10}$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 27)}^{2}}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 27$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{729}{4 \cdot 5}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{729}{20}$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $\frac{729}{20}$ de $0$ .

$e = - \frac{729}{20}$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$

Etapa 1.3

Substitua $5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20}$ por $5 x^{2} - 27 x$ na equação $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} - \frac{729}{20} + 2 y^{2} + 16 y = 19$

Etapa 1.4

Mova $- \frac{729}{20}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{729}{20}$ aos dois lados.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 y^{2} + 16 y = 19 + \frac{729}{20}$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $2 y^{2} + 16 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 2$

$b = 16$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{16}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2$ .

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 (2)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 2}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{8}{2}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{16^{2}}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $16$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 2}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{8}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $256$ por $8$ .

$e = 0 - 1 \cdot 32$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $32$ .

$e = 0 - 32$

Etapa 1.5.4.2.2

Subtraia $32$ de $0$ .

$e = - 32$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ .

$2 {(y + 4)}^{2} - 32$

Etapa 1.6

Substitua $2 {(y + 4)}^{2} - 32$ por $2 y^{2} + 16 y$ na equação $5 x^{2} + 2 y^{2} - 27 x + 16 y = 19$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} - 32 = 19 + \frac{729}{20}$

Etapa 1.7

Mova $- 32$ para o lado direito da equação, somando $32$ aos dois lados.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = 19 + \frac{729}{20} + 32$

Etapa 1.8

Simplifique $19 + \frac{729}{20} + 32$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Escreva $19$ como uma fração com denominador $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} + \frac{729}{20} + 32$

Etapa 1.8.1.2

Multiplique $\frac{19}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19}{1} \cdot \frac{20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Etapa 1.8.1.3

Multiplique $\frac{19}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + 32$

Etapa 1.8.1.4

Escreva $32$ como uma fração com denominador $1$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1}$

Etapa 1.8.1.5

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Etapa 1.8.1.6

Multiplique $\frac{32}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20}{20} + \frac{729}{20} + \frac{32 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{19 \cdot 20 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.8.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.3.1

Multiplique $19$ por $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 32 \cdot 20}{20}$

Etapa 1.8.3.2

Multiplique $32$ por $20$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{380 + 729 + 640}{20}$

Etapa 1.8.4

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.4.1

Some $380$ e $729$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1109 + 640}{20}$

Etapa 1.8.4.2

Some $1109$ e $640$ .

$5 {(x - \frac{27}{10})}^{2} + 2 {(y + 4)}^{2} = \frac{1749}{20}$

Etapa 1.9

Divida cada termo por $\frac{1749}{20}$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{5 {(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{20}} + \frac{2 {(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{20}} = \frac{\frac{1749}{20}}{\frac{1749}{20}}$

Etapa 1.10

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x - \frac{27}{10})}^{2}}{\frac{1749}{100}} + \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1749}{40}} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma elipse. Use-a para determinar os valores usados para encontrar o centro junto com os eixos maior e menor da elipse.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta elipse com os da forma padrão. A variável $a$ representa o raio do eixo maior da elipse, $b$ representa o raio do eixo menor da elipse, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$a = \frac{\sqrt{17490}}{20}$

$b = \frac{\sqrt{1749}}{10}$

$k = - 4$

$h = \frac{27}{10}$

Etapa 4

O centro de uma elipse segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(\frac{27}{10}, - 4)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da elipse usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Reescreva ${\sqrt{17490}}^{2}$ como $17490$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{17490}$ como $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.4

Cancele o fator comum de $17490$ e $400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $10$ de $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.2.1

Fatore $10$ de $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}$

Etapa 5.3.5

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.6

Reescreva ${\sqrt{1749}}^{2}$ como $1749$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1749}$ como $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.6.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}}$

Etapa 5.3.7

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}}$

Etapa 5.3.8

Para escrever $\frac{1749}{40}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}}$

Etapa 5.3.9

Para escrever $- \frac{1749}{100}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $200$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1

Multiplique $\frac{1749}{40}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.10.2

Multiplique $40$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.3.10.3

Multiplique $\frac{1749}{100}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}}$

Etapa 5.3.10.4

Multiplique $100$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}}$

Etapa 5.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Etapa 5.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.12.1

Multiplique $1749$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}}$

Etapa 5.3.12.2

Multiplique $- 1749$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}}$

Etapa 5.3.12.3

Subtraia $3498$ de $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}}$

Etapa 5.3.13

Reescreva $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ como $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$

Etapa 5.3.14

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.14.1

Reescreva $5247$ como $3^{2} \cdot 583$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.14.1.1

Fatore $9$ de $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}}$

Etapa 5.3.14.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}}$

Etapa 5.3.14.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}}$

Etapa 5.3.15

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.1

Reescreva $200$ como $10^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.15.1.1

Fatore $100$ de $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}}$

Etapa 5.3.15.1.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.15.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.16

Multiplique $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.3.17

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.17.1

Multiplique $\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.3.17.2

Mova $\sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

Etapa 5.3.17.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

Etapa 5.3.17.4

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

Etapa 5.3.17.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.3.17.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.3.17.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.17.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.17.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.17.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.17.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.17.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.17.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2^{1}}$

Etapa 5.3.17.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{583} \sqrt{2}}{10 \cdot 2}$

Etapa 5.3.18

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.18.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{3 \sqrt{2 \cdot 583}}{10 \cdot 2}$

Etapa 5.3.18.2

Multiplique $2$ por $583$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{10 \cdot 2}$

Etapa 5.3.19

Multiplique $10$ por $2$ .

$\frac{3 \sqrt{1166}}{20}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma elipse pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Etapa 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{\sqrt{17490}}{20}))$

Etapa 6.5

Simplifique.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Etapa 6.6

As elipses têm dois vértices.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Etapa 7.3

O primeiro foco de uma elipse pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula.

$(\frac{27}{10}, - 4 - (\frac{3 \sqrt{1166}}{20}))$

Etapa 7.5

Simplifique.

$(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Etapa 7.6

As elipses têm dois pontos imaginários.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}}}{\frac{\sqrt{17490}}{20}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{17490}}{20})}^{2} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{17490}}{20}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{17490}}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.3

Reescreva ${\sqrt{17490}}^{2}$ como $17490$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{17490}$ como $17490^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(17490^{\frac{1}{2}})}^{2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{17490^{\frac{2}{2}}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{17490^{1}}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{17490}{20^{2}} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.4

Eleve $20$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{17490}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.5

Cancele o fator comum de $17490$ e $400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.1

Fatore $10$ de $17490$ .

$\sqrt{\frac{10 (1749)}{400} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.5.2.1

Fatore $10$ de $400$ .

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{10 \cdot 1749}{10 \cdot 40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - {(\frac{\sqrt{1749}}{10})}^{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{1749}}{10}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{\sqrt{1749}}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.7

Reescreva ${\sqrt{1749}}^{2}$ como $1749$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{1749}$ como $1749^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{{(1749^{\frac{1}{2}})}^{2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{\frac{2}{2}}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749^{1}}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.7.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{10^{2}}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.8

Eleve $10$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.9

Para escrever $\frac{1749}{40}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.10

Para escrever $- \frac{1749}{100}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749}{40} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.11

Escreva cada expressão com um denominador comum de $200$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1

Multiplique $\frac{1749}{40}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{40 \cdot 5} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.11.2

Multiplique $40$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749}{100} \cdot \frac{2}{2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.11.3

Multiplique $\frac{1749}{100}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{100 \cdot 2}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.11.4

Multiplique $100$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5}{200} - \frac{1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{1749 \cdot 5 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.13

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.13.1

Multiplique $1749$ por $5$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 1749 \cdot 2}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.13.2

Multiplique $- 1749$ por $2$ .

$\sqrt{\frac{8745 - 3498}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.13.3

Subtraia $3498$ de $8745$ .

$\sqrt{\frac{5247}{200}} \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.14

Reescreva $\sqrt{\frac{5247}{200}}$ como $\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}}$ .

$\frac{\sqrt{5247}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.15

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.15.1

Reescreva $5247$ como $3^{2} \cdot 583$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.15.1.1

Fatore $9$ de $5247$ .

$\frac{\sqrt{9 (583)}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.15.1.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.15.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{200}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.16

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.1

Reescreva $200$ como $10^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.16.1.1

Fatore $100$ de $200$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{100 (2)}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.16.1.2

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{10^{2} \cdot 2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.16.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.17.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.17.1.1

Fatore $10$ de $10 \sqrt{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{20}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17.1.2

Fatore $10$ de $20$ .

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 (\sqrt{2})} \cdot \frac{10 (2)}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{583}}{10 \sqrt{2}} \cdot \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17.2

Multiplique $\frac{3 \sqrt{583}}{\sqrt{2}}$ por $\frac{2}{\sqrt{17490}}$ .

$\frac{3 \sqrt{583} \cdot 2}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2} \sqrt{17490}}$

Etapa 8.3.17.4

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{2 \cdot 17490}}$

Etapa 8.3.17.5

Multiplique $2$ por $17490$ .

$\frac{6 \sqrt{583}}{\sqrt{34980}}$

Etapa 8.3.18

Combine $\sqrt{583}$ e $\sqrt{34980}$ em um único radical.

$6 \sqrt{\frac{583}{34980}}$

Etapa 8.3.19

Cancele o fator comum de $583$ e $34980$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.19.1

Fatore $583$ de $583$ .

$6 \sqrt{\frac{583 (1)}{34980}}$

Etapa 8.3.19.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.19.2.1

Fatore $583$ de $34980$ .

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Etapa 8.3.19.2.2

Cancele o fator comum.

$6 \sqrt{\frac{583 \cdot 1}{583 \cdot 60}}$

Etapa 8.3.19.2.3

Reescreva a expressão.

$6 \sqrt{\frac{1}{60}}$

Etapa 8.3.20

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{60}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$ .

$6 \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{60}}$

Etapa 8.3.21

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{60}}$

Etapa 8.3.22

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.22.1

Reescreva $60$ como $2^{2} \cdot 15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.22.1.1

Fatore $4$ de $60$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{4 (15)}}$

Etapa 8.3.22.1.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$6 \frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 15}}$

Etapa 8.3.22.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$6 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.23

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.23.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.23.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.23.1.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{15}$ .

$2 (3) \frac{1}{2 (\sqrt{15})}$

Etapa 8.3.23.1.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{1}{2 \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.23.1.4

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.23.2

Combine $3$ e $\frac{1}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.24

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$

Etapa 8.3.25

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{15}}$ por $\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{\sqrt{15} \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.25.2

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15}}$

Etapa 8.3.25.3

Eleve $\sqrt{15}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1}}$

Etapa 8.3.25.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{1 + 1}}$

Etapa 8.3.25.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{\sqrt{15}}^{2}}$

Etapa 8.3.25.6

Reescreva ${\sqrt{15}}^{2}$ como $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{15}$ como $15^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{{(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 8.3.25.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 8.3.25.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.25.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.25.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 8.3.25.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15^{1}}$

Etapa 8.3.25.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{15}}{15}$

Etapa 8.3.26

Cancele o fator comum de $3$ e $15$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.26.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{15}$ .

$\frac{3 (\sqrt{15})}{15}$

Etapa 8.3.26.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.26.2.1

Fatore $3$ de $15$ .

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Etapa 8.3.26.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{15}}{3 \cdot 5}$

Etapa 8.3.26.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{15}}{5}$

Etapa 9

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma elipse.

Centro: $(\frac{27}{10}, - 4)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Vertex}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{\sqrt{17490}}{20})$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 + \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

${Focus}_{2}$ : $(\frac{27}{10}, - 4 - \frac{3 \sqrt{1166}}{20})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{15}}{5}$

Etapa 10