Pré-álgebra Exemplos

$6 y^{2} - 12 y - 24 x - 42 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $6 y^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 12 y - 24 x - 42 = - 6 y^{2}$

Etapa 1.2

Some $12 y$ aos dois lados da equação.

$- 24 x - 42 = - 6 y^{2} + 12 y$

Etapa 1.3

Some $42$ aos dois lados da equação.

$- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$

Etapa 2

Divida cada termo em $- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$ por $- 24$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida cada termo em $- 24 x = - 6 y^{2} + 12 y + 42$ por $- 24$ .

$\frac{- 24 x}{- 24} = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 24 x}{- 24} = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6 y^{2}}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 6$ e $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.1

Fatore $- 6$ de $- 6 y^{2}$ .

$x = \frac{- 6 (y^{2})}{- 24} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1.2.1

Fatore $- 6$ de $- 24$ .

$x = \frac{- 6 (y^{2})}{- 6 (4)} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{- 6 y^{2}}{- 6 \cdot 4} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.2

Cancele o fator comum de $12$ e $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Fatore $12$ de $12 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 (y)}{- 24} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.2.1

Fatore $12$ de $- 24$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{12 \cdot - 2} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{12 y}{12 \cdot - 2} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{4} + \frac{y}{- 2} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{42}{- 24}$

Etapa 2.3.1.4

Cancele o fator comum de $42$ e $- 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.1

Fatore $6$ de $42$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 (7)}{- 24}$

Etapa 2.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.4.2.1

Fatore $6$ de $- 24$ .

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot - 4}$

Etapa 2.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{6 \cdot 7}{6 \cdot - 4}$

Etapa 2.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} + \frac{7}{- 4}$

Etapa 2.3.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{7}{4}$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{4} - \frac{y}{2} - \frac{7}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = - \frac{1}{2}$

$c = - \frac{7}{4}$

Etapa 3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{1}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Etapa 3.1.1.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.3.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 3.1.1.3.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.3.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$d = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.1.3.2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{1}{2} (1 \cdot 2)$

Etapa 3.1.1.3.2.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$d = \frac{- 1}{2} (1 \cdot 2)$

Etapa 3.1.1.3.2.5.2

Fatore $2$ de $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Etapa 3.1.1.3.2.5.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1}{2} (2 \cdot 1)$

Etapa 3.1.1.3.2.5.4

Reescreva a expressão.

$d = - 1$

Etapa 3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 \frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 \frac{1}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1 (\frac{1}{4})}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{4}{4}}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $4$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{1}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.4

Divida $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = - \frac{7}{4} - \frac{1}{4}$

Etapa 3.1.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{- 7 - 1}{4}$

Etapa 3.1.1.4.2.3

Subtraia $1$ de $- 7$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Etapa 3.1.1.4.2.4

Divida $- 8$ por $4$ .

$e = - 2$

Etapa 3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(y - 1)}^{2} - 2$

Etapa 3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{4} \cdot {(y - 1)}^{2} - 2$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 2$

$k = 1$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 2, 1)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique dividindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Divida $4$ por $4$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 3.5.3.2.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 1, 1)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 1$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - 3$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - 3$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - 3$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = 1 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 1 + 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \sqrt{1}$

Etapa 4.1.2.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 + 2$

Etapa 4.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = 3$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $3$ .

$y = 3$

Etapa 4.1.3

Converta $3$ em decimal.

$= 3$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $- 1$ em $f (x) = 1 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 1, - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 1 - 2 \sqrt{(- 1) + 2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Some $- 1$ e $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \sqrt{1}$

Etapa 4.2.2.1.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- 1) = - 1$

Etapa 4.2.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 4.2.3

Converta $- 1$ em decimal.

$= - 1$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = 1 + 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, 3.82842712)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 1 + 2 \sqrt{(0) + 2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = 1 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $1 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 1 + 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.3.3

Converta $1 + 2 \sqrt{2}$ em decimal.

$= 3.82842712$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $0$ em $f (x) = 1 - 2 \sqrt{x + 2}$ . Nesse caso, o ponto é $(0, - 1.82842712)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 1 - 2 \sqrt{(0) + 2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = 1 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $1 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 1 - 2 \sqrt{2}$

Etapa 4.4.3

Converta $1 - 2 \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 1.82842712$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 3.83 \\ 0 & - 1.83 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 2, 1)$

Foco: $(- 1, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1 \\ - 1 & 3 \\ - 1 & - 1 \\ 0 & 3.83 \\ 0 & - 1.83 \end{array}$

Etapa 6