Pré-álgebra Exemplos

$- 3 y^{2} + 12 y - x - 9 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Some $3 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$12 y - x - 9 = 3 y^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia $12 y$ dos dois lados da equação.

$- x - 9 = 3 y^{2} - 12 y$

Etapa 1.3

Some $9$ aos dois lados da equação.

$- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$

Etapa 2

Divida cada termo em $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $- x = 3 y^{2} - 12 y + 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{3 y^{2}}{- 1} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3 y^{2}}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva $- 1 \cdot (3 y^{2})$ como $- (3 y^{2})$ .

$x = - (3 y^{2}) + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + \frac{- 12 y}{- 1} + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 12 y}{- 1}$ .

$x = - 3 y^{2} - 1 \cdot (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3.1.5

Reescreva $- 1 \cdot (- 12 y)$ como $- (- 12 y)$ .

$x = - 3 y^{2} - (- 12 y) + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y + \frac{9}{- 1}$

Etapa 2.3.1.7

Divida $9$ por $- 1$ .

$x = - 3 y^{2} + 12 y - 9$

Etapa 3

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 3.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 3.1.1

Complete o quadrado de $- 3 y^{2} + 12 y - 9$ .

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Etapa 3.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 3$

$b = 12$

$c = - 9$

Etapa 3.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 3.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{12}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $12$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $12$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 3$ .

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 (- 3)}$

Etapa 3.1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 6}{2 \cdot - 3}$

Etapa 3.1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{6}{- 3}$

Etapa 3.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ e $- 3$ .

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Etapa 3.1.1.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$d = \frac{3 (2)}{- 3}$

Etapa 3.1.1.3.2.2.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 3.1.1.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 3.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 3.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 9 - \frac{12^{2}}{4 \cdot - 3}$

Etapa 3.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1.4.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$e = - 9 - \frac{144}{4 \cdot - 3}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$e = - 9 - \frac{144}{- 12}$

Etapa 3.1.1.4.2.1.3

Divida $144$ por $- 12$ .

$e = - 9 - - 12$

Etapa 3.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$e = - 9 + 12$

Etapa 3.1.1.4.2.2

Some $- 9$ e $12$ .

$e = 3$

Etapa 3.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$ .

$- 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Etapa 3.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - 3 {(y - 2)}^{2} + 3$

Etapa 3.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 3$

$h = 3$

$k = 2$

Etapa 3.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 3.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(3, 2)$

Etapa 3.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 3.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 3.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 3}$

Etapa 3.5.3

Simplifique.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $4$ por $- 3$ .

$\frac{1}{- 12}$

Etapa 3.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{12}$

Etapa 3.6

Encontre o foco.

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Etapa 3.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 3.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{35}{12}, 2)$

Etapa 3.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 2$

Etapa 3.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 3.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 3.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{37}{12}$

Etapa 3.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{35}{12}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{37}{12}$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{35}{12}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{37}{12}$

Etapa 4

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 4.1

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 2.81649658)$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (1) = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 4.1.2.2

A resposta final é $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

Etapa 4.1.3

Converta $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ em decimal.

$= 2.81649658$

Etapa 4.2

Substitua o valor $x$ $1$ em $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Nesse caso, o ponto é $(1, 1.18350341)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (1) + 3)}}{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 1 + 3)}}{3}$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 2}}{3}$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (1) = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 4.2.2.2

A resposta final é $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

Etapa 4.2.3

Converta $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ em decimal.

$= 1.18350341$

Etapa 4.3

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \frac{6 + \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 2.57735026)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Etapa 4.3.2.1.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (2) = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.3.2.2

A resposta final é $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 + \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.3.3

Converta $\frac{6 + \sqrt{3}}{3}$ em decimal.

$= 2.57735026$

Etapa 4.4

Substitua o valor $x$ $2$ em $f (x) = \frac{6 - \sqrt{3 (- x + 3)}}{3}$ . Nesse caso, o ponto é $(2, 1.42264973)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- (2) + 3)}}{3}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}}{3}$

Etapa 4.4.2.1.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3 \cdot 1}}{3}$

Etapa 4.4.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (2) = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.4.2.2

A resposta final é $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ .

$y = \frac{6 - \sqrt{3}}{3}$

Etapa 4.4.3

Converta $\frac{6 - \sqrt{3}}{3}$ em decimal.

$= 1.42264973$

Etapa 4.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Etapa 5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(3, 2)$

Foco: $(\frac{35}{12}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = \frac{37}{12}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 2.82 \\ 1 & 1.18 \\ 2 & 2.58 \\ 2 & 1.42 \\ 3 & 2 \end{array}$

Etapa 6