Pré-álgebra Exemplos

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y - 12 = 0$

Etapa 1

Some $12$ aos dois lados da equação.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 4 x + 6 y = 12$

Etapa 2

Divida os dois lados da equação por $3$ .

$x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$

Etapa 3

Complete o quadrado de $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{4}{3}$

$c = 0$

Etapa 3.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 3.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 1$ e $1$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{4}{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- \frac{4}{3}}{2}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$d = \frac{- 4}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$d = \frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 3.3.2.3.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 2}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{2}{3}$

Etapa 3.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 3.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{4}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{16}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{16}{9})}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4 \cdot 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{16}{9}}{4}$

Etapa 3.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = 0 - (\frac{16}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 3.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.4.2.1.4.1

Fatore $4$ de $16$ .

$e = 0 - (\frac{4 (4)}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 3.4.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$e = 0 - (\frac{4 \cdot 4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 3.4.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$e = 0 - \frac{4}{9}$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $\frac{4}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{4}{9}$

Etapa 3.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$

Etapa 4

Substitua ${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9}$ por $x^{2} - \frac{4 x}{3}$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} - \frac{4}{9} + y^{2} + 2 y = 4$

Etapa 5

Mova $- \frac{4}{9}$ para o lado direito da equação, somando $\frac{4}{9}$ aos dois lados.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + y^{2} + 2 y = 4 + \frac{4}{9}$

Etapa 6

Complete o quadrado de $y^{2} + 2 y$ .

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Etapa 6.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 6.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 6.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 6.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.3.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Etapa 6.3.2.2

Reescreva a expressão.

$d = 1$

Etapa 6.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 6.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Etapa 6.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 6.4.2.1.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.4.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Etapa 6.4.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 6.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e = 0 - 1$

Etapa 6.4.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e = - 1$

Etapa 6.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + 1)}^{2} - 1$ .

${(y + 1)}^{2} - 1$

Etapa 7

Substitua ${(y + 1)}^{2} - 1$ por $y^{2} + 2 y$ na equação $x^{2} + y^{2} - \frac{4 x}{3} + 2 y = 4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} - 1 = 4 + \frac{4}{9}$

Etapa 8

Mova $- 1$ para o lado direito da equação, somando $1$ aos dois lados.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 4 + \frac{4}{9} + 1$

Etapa 9

Simplifique $4 + \frac{4}{9} + 1$ .

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Etapa 9.1

Encontre o denominador comum.

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Etapa 9.1.1

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} + \frac{4}{9} + 1$

Etapa 9.1.2

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Etapa 9.1.3

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + 1$

Etapa 9.1.4

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1}$

Etapa 9.1.5

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 9.1.6

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9}{9} + \frac{4}{9} + \frac{9}{9}$

Etapa 9.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{4 \cdot 9 + 4 + 9}{9}$

Etapa 9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $4$ por $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{36 + 4 + 9}{9}$

Etapa 9.3.2

Some $36$ e $4$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{40 + 9}{9}$

Etapa 9.3.3

Some $40$ e $9$ .

${(x - \frac{2}{3})}^{2} + {(y + 1)}^{2} = \frac{49}{9}$

Etapa 10

Esta é a forma de um círculo. Use-a para determinar o centro e o raio do círculo.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Etapa 11

Associe os valores neste círculo com os da forma padrão. A variável $r$ representa o raio do círculo, $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem e $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem.

$r = \frac{7}{3}$

$h = \frac{2}{3}$

$k = - 1$

Etapa 12

O centro do círculo é encontrado em $(h, k)$ .

Centro: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Etapa 13

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar um círculo.

Centro: $(\frac{2}{3}, - 1)$

Raio: $\frac{7}{3}$

Etapa 14