Pré-álgebra Exemplos

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y + 36 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $36$ dos dois lados da equação.

$36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y = - 36$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $36 x^{2} - 72 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 36$

$b = - 72$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 72$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 36$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (36)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot 36}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 36}{36}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 36$ e $36$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $36$ de $- 36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $36$ de $36$ .

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{36 \cdot - 1}{36 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot 36}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $- 72$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot 36}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $36$ .

$e = 0 - \frac{5184}{144}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $5184$ por $144$ .

$e = 0 - 1 \cdot 36$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $36$ .

$e = 0 - 36$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $36$ de $0$ .

$e = - 36$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $36 {(x - 1)}^{2} - 36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 36$

Etapa 1.3

Substitua $36 {(x - 1)}^{2} - 36$ por $36 x^{2} - 72 x$ na equação $36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y = - 36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 36 - 9 y^{2} - 108 y = - 36$

Etapa 1.4

Mova $- 36$ para o lado direito da equação, somando $36$ aos dois lados.

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 y^{2} - 108 y = - 36 + 36$

Etapa 1.5

Complete o quadrado de $- 9 y^{2} - 108 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = - 108$

$c = 0$

Etapa 1.5.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.5.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 108}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 108$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 108$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 (- 9)}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 54}{2 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 54}{- 9}$

Etapa 1.5.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 54$ e $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.1

Fatore $- 9$ de $- 54$ .

$d = \frac{- 9 (6)}{- 9}$

Etapa 1.5.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.2.2.1

Fatore $- 9$ de $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 6}{- 9 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 9 \cdot 6}{- 9 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{6}{1}$

Etapa 1.5.3.2.2.2.4

Divida $6$ por $1$ .

$d = 6$

Etapa 1.5.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 108)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.4.2.1.1

Eleve $- 108$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{11664}{4 \cdot - 9}$

Etapa 1.5.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 9$ .

$e = 0 - \frac{11664}{- 36}$

Etapa 1.5.4.2.1.3

Divida $11664$ por $- 36$ .

$e = 0 - - 324$

Etapa 1.5.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 324$ .

$e = 0 + 324$

Etapa 1.5.4.2.2

Some $0$ e $324$ .

$e = 324$

Etapa 1.5.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 9 {(y + 6)}^{2} + 324$ .

$- 9 {(y + 6)}^{2} + 324$

Etapa 1.6

Substitua $- 9 {(y + 6)}^{2} + 324$ por $- 9 y^{2} - 108 y$ na equação $36 x^{2} - 9 y^{2} - 72 x - 108 y = - 36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} + 324 = - 36 + 36$

Etapa 1.7

Mova $324$ para o lado direito da equação, somando $324$ aos dois lados.

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} = - 36 + 36 - 324$

Etapa 1.8

Simplifique $- 36 + 36 - 324$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Some $- 36$ e $36$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} = 0 - 324$

Etapa 1.8.2

Subtraia $324$ de $0$ .

$36 {(x - 1)}^{2} - 9 {(y + 6)}^{2} = - 324$

Etapa 1.9

Inverta o sinal em cada termo da equação para que o termo do lado direito fique positivo.

$- 36 {(x - 1)}^{2} + 9 {(y + 6)}^{2} = 324$

Etapa 1.10

Divida cada termo por $324$ para que o lado direito seja igual a um.

$- \frac{36 {(x - 1)}^{2}}{324} + \frac{9 {(y + 6)}^{2}}{324} = \frac{324}{324}$

Etapa 1.11

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(y + 6)}^{2}}{36} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{9} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = 6$

$b = 3$

$k = - 6$

$h = 1$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(1, - 6)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(6)}^{2} + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 + {(3)}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{36 + 9}$

Etapa 5.3.3

Some $36$ e $9$ .

$\sqrt{45}$

Etapa 5.3.4

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Fatore $9$ de $45$ .

$\sqrt{9 (5)}$

Etapa 5.3.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\sqrt{3^{2} \cdot 5}$

Etapa 5.3.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$3 \sqrt{5}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $k$ .

$(h, k + a)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $k$ .

$(h, k - a)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - 12)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h, k \pm a)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(1, 0), (1, - 12)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $k$ .

$(h, k + c)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - 6 + 3 \sqrt{5})$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $k$ .

$(h, k - c)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, - 6 - 3 \sqrt{5})$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(1, - 6 + 3 \sqrt{5}), (1, - 6 - 3 \sqrt{5})$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(6)}^{2} + {(3)}^{2}}}{6}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 3^{2}}}{6}$

Etapa 8.3.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{36 + 9}}{6}$

Etapa 8.3.1.3

Some $36$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{45}}{6}$

Etapa 8.3.1.4

Reescreva $45$ como $3^{2} \cdot 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Fatore $9$ de $45$ .

$\frac{\sqrt{9 (5)}}{6}$

Etapa 8.3.1.4.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 5}}{6}$

Etapa 8.3.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{3 \sqrt{5}}{6}$

Etapa 8.3.2

Cancele o fator comum de $3$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 (\sqrt{5})}{6}$

Etapa 8.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.2.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{5}}{3 \cdot 2}$

Etapa 8.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{5}}{2}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{3^{2}}{3 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de $3^{2}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $3$ de $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{5}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (\sqrt{5})}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.2

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{3}{\sqrt{5}}$ por $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3.2

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Etapa 9.3.3.3

Eleve $\sqrt{5}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Etapa 9.3.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Etapa 9.3.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 9.3.3.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 9.3.3.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 9.3.3.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5^{1}}$

Etapa 9.3.3.6.5

Avalie o expoente.

$\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ , porque esta hipérbole se abre para cima e para baixo.

$y = \pm 2 \cdot (x - (1)) - 6$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = 2 \cdot (x - (1)) - 6$

Etapa 11.2

Simplifique $2 \cdot (x - (1)) - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = 2 \cdot (x - 1) - 6$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = 2 x + 2 \cdot - 1 - 6$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = 2 x - 2 - 6$

Etapa 11.2.2

Subtraia $6$ de $- 2$ .

$y = 2 x - 8$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - 2 \cdot (x - (1)) - 6$

Etapa 12.2

Simplifique $- 2 \cdot (x - (1)) - 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$y = - 2 \cdot (x - 1) - 6$

Etapa 12.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 1 - 6$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$y = - 2 x + 2 - 6$

Etapa 12.2.2

Subtraia $6$ de $2$ .

$y = - 2 x - 4$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = 2 x - 8, y = - 2 x - 4$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(1, - 6)$

Vértices: $(1, 0), (1, - 12)$

Ponto imaginário: $(1, - 6 + 3 \sqrt{5}), (1, - 6 - 3 \sqrt{5})$

Excentricidade: $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Parâmetro focal: $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$

Assíntotas: $y = 2 x - 8$ , $y = - 2 x - 4$

Etapa 15