Pré-álgebra Exemplos

$3 x = y^{2} - 2 y + 7$

Etapa 1

Divida cada termo em $3 x = y^{2} - 2 y + 7$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Divida cada termo em $3 x = y^{2} - 2 y + 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{- 2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = \frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{7}{3}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{3} - \frac{2 y}{3} + \frac{7}{3}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{3}$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = \frac{7}{3}$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $\frac{- 1}{3}$ por $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ .

$d = \frac{- 1}{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.3.2.4

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{3}{3}}$

Etapa 2.1.1.3.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 1}{\frac{3}{3}}$

Etapa 2.1.1.3.2.5.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.6

Divida $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{2}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.3

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.6

Multiplique $\frac{4}{9}$ por $1$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$e = \frac{7}{3} - \frac{\frac{4}{9}}{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{4})$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{9} \cdot 3)$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.5.1

Fatore $3$ de $9$ .

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 (3)} \cdot 3)$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{7}{3} - (\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{7}{3} - \frac{1}{3}$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{7 - 1}{3}$

Etapa 2.1.1.4.2.3

Subtraia $1$ de $7$ .

$e = \frac{6}{3}$

Etapa 2.1.1.4.2.4

Divida $6$ por $3$ .

$e = 2$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{3} {(y - 1)}^{2} + 2$ .

$\frac{1}{3} {(y - 1)}^{2} + 2$

Etapa 2.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y - 1)}^{2} + 2$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 2$

$k = 1$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, 1)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

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Etapa 2.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{11}{4}, 1)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 1$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{5}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(2, 1)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = \frac{5}{4}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(2, 1)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = \frac{5}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(3, 2.7320508)$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Remova os parênteses.

$f (3) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3 \cdot 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (3) = 1 + \sqrt{3}$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $1 + \sqrt{3}$ .

$y = 1 + \sqrt{3}$

Etapa 3.1.3

Converta $1 + \sqrt{3}$ em decimal.

$= 2.7320508$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $3$ em $f (x) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(3, - 0.7320508)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$f (3) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 3)}$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3 \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (3) = 1 - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.2.3

A resposta final é $1 - \sqrt{3}$ .

$y = 1 - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.3

Converta $1 - \sqrt{3}$ em decimal.

$= - 0.7320508$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $4$ em $f (x) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(4, 3.44948974)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Remova os parênteses.

$f (4) = 1 + \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Some $- 2$ e $4$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{3 \cdot 2}$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (4) = 1 + \sqrt{6}$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $1 + \sqrt{6}$ .

$y = 1 + \sqrt{6}$

Etapa 3.3.3

Converta $1 + \sqrt{6}$ em decimal.

$= 3.44948974$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $4$ em $f (x) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + x)}$ . Nesse caso, o ponto é $(4, - 1.44948974)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Remova os parênteses.

$f (4) = 1 - \sqrt{3 (- 2 + 4)}$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.2.1

Some $- 2$ e $4$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{3 \cdot 2}$

Etapa 3.4.2.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (4) = 1 - \sqrt{6}$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $1 - \sqrt{6}$ .

$y = 1 - \sqrt{6}$

Etapa 3.4.3

Converta $1 - \sqrt{6}$ em decimal.

$= - 1.44948974$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1 \\ 3 & 2.73 \\ 3 & - 0.73 \\ 4 & 3.45 \\ 4 & - 1.45 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(2, 1)$

Foco: $(\frac{11}{4}, 1)$

Eixo de simetria: $y = 1$

Diretriz: $x = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 1 \\ 3 & 2.73 \\ 3 & - 0.73 \\ 4 & 3.45 \\ 4 & - 1.45 \end{array}$

Etapa 5