Pré-álgebra Exemplos

$\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)} < 0$

Etapa 1

Some $\sqrt[3]{x (x - 1)}$ aos dois lados da desigualdade.

$\sqrt{x} < \sqrt[3]{x (x - 1)}$

Etapa 2

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{x}}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Etapa 3

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Etapa 3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Simplifique.

$x < {\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Reescreva ${\sqrt[3]{x (x - 1)}}^{2}$ como $\sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$ .

$x < \sqrt[3]{{(x (x - 1))}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Aplique a regra do produto a $x (x - 1)$ .

$x < \sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 4

Reescreva de forma que $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ esteja do lado esquerdo da desigualdade.

$\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}} > x$

Etapa 5

To remove the radical on the left side of the inequality, cube both sides of the inequality.

${\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}}^{3} > x^{3}$

Etapa 6

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} {(x - 1)}^{2}}$ como ${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3} > x^{3}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Etapa 6.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} > x^{3}$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x^{2} {(x - 1)}^{2})}^{1} > x^{3}$

Etapa 6.2.1.2

Simplifique.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} > x^{3}$

Etapa 7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Subtraia $x^{3}$ dos dois lados da desigualdade.

$x^{2} {(x - 1)}^{2} - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{2} ((x - 1) (x - 1)) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} (x^{2} - x - x + 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$x^{2} (x^{2} - 2 x + 1) - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.5.1

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.5.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + 2} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.5.1.2

Some $2$ e $2$ .

$x^{4} + x^{2} (- 2 x) + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 1 - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.5.3

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} - 2 x^{2} x + x^{2} - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.6

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.6.1

Mova $x$ .

$x^{4} - 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.6.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.6.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{4} - 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{4} - 2 x^{1 + 2} + x^{2} - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.2.6.3

Some $1$ e $2$ .

$x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - x^{3} > 0$

Etapa 7.1.3

Subtraia $x^{3}$ de $- 2 x^{3}$ .

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} > 0$

Etapa 7.2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{4} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 7.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{4} - 3 x^{3} + x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 3 x^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 7.3.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 x^{3}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} = 0$

Etapa 7.3.3

Multiplique por $1$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Etapa 7.3.4

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} (- 3 x)$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1 = 0$

Etapa 7.3.5

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (x^{2} - 3 x) + x^{2} \cdot 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$

Etapa 7.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Etapa 7.5

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 7.5.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 7.5.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.5.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 7.5.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 7.5.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7.6

Defina $x^{2} - 3 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Defina $x^{2} - 3 x + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$

Etapa 7.6.2

Resolva $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.3.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.4.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.6.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Etapa 7.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.6.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 7.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (x^{2} - 3 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

Etapa 8

Encontre o domínio de $\sqrt{x} - \sqrt[3]{x (x - 1)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Defina o radicando em $\sqrt{x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x \geq 0$

Etapa 8.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x > \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

Notação de intervalo:

$(\frac{3 + \sqrt{5}}{2}, \infty)$

Etapa 11