Pré-álgebra Exemplos

$x^{2} + 18 x - 9 y - 9 = 0$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$18 x - 9 y - 9 = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $18 x$ dos dois lados da equação.

$- 9 y - 9 = - x^{2} - 18 x$

Etapa 1.1.3

Some $9$ aos dois lados da equação.

$- 9 y = - x^{2} - 18 x + 9$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $- 9 y = - x^{2} - 18 x + 9$ por $- 9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $- 9 y = - x^{2} - 18 x + 9$ por $- 9$ .

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- x^{2}}{- 9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 9 y}{- 9} = \frac{- x^{2}}{- 9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 18 x}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 18$ e $- 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Fatore $- 9$ de $- 18 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 9 (2 x)}{- 9} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.2.1

Fatore $- 9$ de $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 9 (2 x)}{- 9 (1)} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{- 9 (2 x)}{- 9 \cdot 1} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = \frac{x^{2}}{9} + \frac{2 x}{1} + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.4

Divida $2 x$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + 2 x + \frac{9}{- 9}$

Etapa 1.2.3.1.3

Divida $9$ por $- 9$ .

$y = \frac{x^{2}}{9} + 2 x - 1$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $\frac{x^{2}}{9} + 2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{9}$

$b = 2$

$c = - 1$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{9})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{9})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{\frac{1}{9}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 9$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$d = 9$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{9})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = - 1 - \frac{4}{4 (\frac{1}{9})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{9}$ .

$e = - 1 - \frac{4}{\frac{4}{9}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e = - 1 - (4 (\frac{9}{4}))$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$e = - 1 - (4 (\frac{9}{4}))$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$e = - 1 - 1 \cdot 9$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$e = - 1 - 9$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Subtraia $9$ de $- 1$ .

$e = - 10$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{9} {(x + 9)}^{2} - 10$ .

$\frac{1}{9} {(x + 9)}^{2} - 10$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{1}{9} \cdot {(x + 9)}^{2} - 10$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{9}$

$h = - 9$

$k = - 10$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 9, - 10)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{9}}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{9}}$

Etapa 2.5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{9}{4})$

Etapa 2.5.3.3

Multiplique $\frac{9}{4}$ por $1$ .

$\frac{9}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 9, - \frac{31}{4})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 9$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{49}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 9, - 10)$

Foco: $(- 9, - \frac{31}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 9$

Diretriz: $y = - \frac{49}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 9, - 10)$

Foco: $(- 9, - \frac{31}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 9$

Diretriz: $y = - \frac{49}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 10$ na expressão.

$f (- 10) = \frac{{(- 10)}^{2}}{9} + 2 (- 10) - 1$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + 2 (- 10) - 1$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} - 20 - 1$

Etapa 3.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Escreva $- 20$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20}{1} - 1$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{9}{9} - 1$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} - 1$

Etapa 3.2.2.4

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 3.2.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 3.2.2.6

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 10) = \frac{100}{9} + \frac{- 20 \cdot 9}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 10) = \frac{100 - 20 \cdot 9 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Multiplique $- 20$ por $9$ .

$f (- 10) = \frac{100 - 180 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 10) = \frac{100 - 180 - 9}{9}$

Etapa 3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Subtraia $180$ de $100$ .

$f (- 10) = \frac{- 80 - 9}{9}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $9$ de $- 80$ .

$f (- 10) = \frac{- 89}{9}$

Etapa 3.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 10) = - \frac{89}{9}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{89}{9}$ .

$- \frac{89}{9}$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 10$ é $- \frac{89}{9}$ .

$y = - \frac{89}{9}$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 11$ na expressão.

$f (- 11) = \frac{{(- 11)}^{2}}{9} + 2 (- 11) - 1$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 11$ à potência de $2$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + 2 (- 11) - 1$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $2$ por $- 11$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} - 22 - 1$

Etapa 3.5.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Escreva $- 22$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22}{1} - 1$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $\frac{- 22}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22}{1} \cdot \frac{9}{9} - 1$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $\frac{- 22}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} - 1$

Etapa 3.5.2.4

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 3.5.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 11) = \frac{121}{9} + \frac{- 22 \cdot 9}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 11) = \frac{121 - 22 \cdot 9 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $- 22$ por $9$ .

$f (- 11) = \frac{121 - 198 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 11) = \frac{121 - 198 - 9}{9}$

Etapa 3.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Subtraia $198$ de $121$ .

$f (- 11) = \frac{- 77 - 9}{9}$

Etapa 3.5.5.2

Subtraia $9$ de $- 77$ .

$f (- 11) = \frac{- 86}{9}$

Etapa 3.5.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 11) = - \frac{86}{9}$

Etapa 3.5.6

A resposta final é $- \frac{86}{9}$ .

$- \frac{86}{9}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 11$ é $- \frac{86}{9}$ .

$y = - \frac{86}{9}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{9} + 2 (- 6) - 1$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{9} + 2 (- 6) - 1$

Etapa 3.8.1.2

Divida $36$ por $9$ .

$f (- 6) = 4 + 2 (- 6) - 1$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f (- 6) = 4 - 12 - 1$

Etapa 3.8.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Subtraia $12$ de $4$ .

$f (- 6) = - 8 - 1$

Etapa 3.8.2.2

Subtraia $1$ de $- 8$ .

$f (- 6) = - 9$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $- 9$ .

$- 9$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = - 6$ é $- 9$ .

$y = - 9$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f (- 8) = \frac{{(- 8)}^{2}}{9} + 2 (- 8) - 1$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + 2 (- 8) - 1$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} - 16 - 1$

Etapa 3.11.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Escreva $- 16$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16}{1} - 1$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{9}{9} - 1$

Etapa 3.11.2.3

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} - 1$

Etapa 3.11.2.4

Escreva $- 1$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1}$

Etapa 3.11.2.5

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 3.11.2.6

Multiplique $\frac{- 1}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- 8) = \frac{64}{9} + \frac{- 16 \cdot 9}{9} + \frac{- 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 8) = \frac{64 - 16 \cdot 9 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.11.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Multiplique $- 16$ por $9$ .

$f (- 8) = \frac{64 - 144 - 1 \cdot 9}{9}$

Etapa 3.11.4.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 8) = \frac{64 - 144 - 9}{9}$

Etapa 3.11.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.1

Subtraia $144$ de $64$ .

$f (- 8) = \frac{- 80 - 9}{9}$

Etapa 3.11.5.2

Subtraia $9$ de $- 80$ .

$f (- 8) = \frac{- 89}{9}$

Etapa 3.11.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 8) = - \frac{89}{9}$

Etapa 3.11.6

A resposta final é $- \frac{89}{9}$ .

$- \frac{89}{9}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = - 8$ é $- \frac{89}{9}$ .

$y = - \frac{89}{9}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - \frac{86}{9} \\ - 10 & - \frac{89}{9} \\ - 9 & - 10 \\ - 8 & - \frac{89}{9} \\ - 6 & - 9 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(- 9, - 10)$

Foco: $(- 9, - \frac{31}{4})$

Eixo de simetria: $x = - 9$

Diretriz: $y = - \frac{49}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 11 & - \frac{86}{9} \\ - 10 & - \frac{89}{9} \\ - 9 & - 10 \\ - 8 & - \frac{89}{9} \\ - 6 & - 9 \end{array}$

Etapa 5