Pré-álgebra Exemplos

$x^{2} + 8 x + 4 y + 8 = 0$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$8 x + 4 y + 8 = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

$4 y + 8 = - x^{2} - 8 x$

Etapa 1.1.3

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$4 y = - x^{2} - 8 x - 8$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $4 y = - x^{2} - 8 x - 8$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 8 x}{4} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 8 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 (1)} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (- 2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 x}{1} + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.4

Divida $- 2 x$ por $1$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x + \frac{- 8}{4}$

Etapa 1.2.3.1.3

Divida $- 8$ por $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{4} - 2 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 1 \cdot 4$

Etapa 2.1.1.3.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{- 4}{4}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$e = - 2 - \frac{4}{- 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Divida $4$ por $- 1$ .

$e = - 2 - - 4$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$e = - 2 + 4$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $- 2$ e $4$ .

$e = 2$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} + 2$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} + 2$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = 2$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, 1)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 4$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 3$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- 4, 1)$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = 3$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- 4, 1)$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = 3$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = - \frac{{(- 6)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = - \frac{36}{4} - 2 \cdot - 6 - 2$

Etapa 3.2.1.2

Divida $36$ por $4$ .

$f (- 6) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- 6) = - 9 - 2 \cdot - 6 - 2$

Etapa 3.2.1.4

Multiplique $- 2$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - 9 + 12 - 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $- 9$ e $12$ .

$f (- 6) = 3 - 2$

Etapa 3.2.2.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f (- 6) = 1$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 6$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = - \frac{{(- 5)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} - 2 \cdot - 5 - 2$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + 10 - 2$

Etapa 3.5.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Escreva $10$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} - 2$

Etapa 3.5.2.2

Multiplique $\frac{10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Etapa 3.5.2.3

Multiplique $\frac{10}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} - 2$

Etapa 3.5.2.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.5.2.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.5.2.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = - \frac{25}{4} + \frac{10 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 5) = \frac{- 25 + 10 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Multiplique $10$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.5.4.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f (- 5) = \frac{- 25 + 40 - 8}{4}$

Etapa 3.5.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Some $- 25$ e $40$ .

$f (- 5) = \frac{15 - 8}{4}$

Etapa 3.5.5.2

Subtraia $8$ de $15$ .

$f (- 5) = \frac{7}{4}$

Etapa 3.5.6

A resposta final é $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 5$ é $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 2 - 2$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Escreva $- 2 \cdot - 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} - 2$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $\frac{- 2 \cdot - 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} - 2$

Etapa 3.8.1.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.8.1.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.8.1.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + \frac{- 2 \cdot - 2 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{- {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.8.3

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.8.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 - 2 \cdot - 2 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.8.3.3

Multiplique $- 2 \cdot - 2 \cdot 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.3.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 4 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.8.3.3.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.8.3.4

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 4 + 16 - 8}{4}$

Etapa 3.8.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.4.1

Some $- 4$ e $16$ .

$f (- 2) = \frac{12 - 8}{4}$

Etapa 3.8.4.2

Subtraia $8$ de $12$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4}$

Etapa 3.8.4.3

Divida $4$ por $4$ .

$f (- 2) = 1$

Etapa 3.8.5

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = - 2$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - \frac{{(- 3)}^{2}}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} - 2 \cdot - 3 - 2$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + 6 - 2$

Etapa 3.11.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} - 2$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} - 2$

Etapa 3.11.2.3

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} - 2$

Etapa 3.11.2.4

Escreva $- 2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1}$

Etapa 3.11.2.5

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.11.2.6

Multiplique $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = - \frac{9}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{- 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 3) = \frac{- 9 + 6 \cdot 4 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.11.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.4.1

Multiplique $6$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 2 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.11.4.2

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$f (- 3) = \frac{- 9 + 24 - 8}{4}$

Etapa 3.11.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.1

Some $- 9$ e $24$ .

$f (- 3) = \frac{15 - 8}{4}$

Etapa 3.11.5.2

Subtraia $8$ de $15$ .

$f (- 3) = \frac{7}{4}$

Etapa 3.11.6

A resposta final é $\frac{7}{4}$ .

$\frac{7}{4}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = - 3$ é $\frac{7}{4}$ .

$y = \frac{7}{4}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- 4, 1)$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 1 \\ - 5 & \frac{7}{4} \\ - 4 & 2 \\ - 3 & \frac{7}{4} \\ - 2 & 1 \end{array}$

Etapa 5