Pré-álgebra Exemplos

$x^{2} - 2 x + 4 y - 5 = 0$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$- 2 x + 4 y - 5 = - x^{2}$

Etapa 1.1.2

Some $2 x$ aos dois lados da equação.

$4 y - 5 = - x^{2} + 2 x$

Etapa 1.1.3

Some $5$ aos dois lados da equação.

$4 y = - x^{2} + 2 x + 5$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $4 y = - x^{2} + 2 x + 5$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $4 y = - x^{2} + 2 x + 5$ por $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y}{4} = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (x)}{4} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{2 \cdot 2} + \frac{5}{4}$

Etapa 1.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y = - \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{4} + \frac{x}{2} + \frac{5}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = \frac{1}{2}$

$c = \frac{5}{4}$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{1}{2}}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{2 (\frac{1}{4})})$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2}{4}})$

Etapa 2.1.1.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}})$

Etapa 2.1.1.3.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.1.1.3.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}})$

Etapa 2.1.1.3.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{2} (- \frac{1}{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.1.1.3.2.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = \frac{1}{2} (- (1 \cdot 2))$

Etapa 2.1.1.3.2.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.6.1

Fatore $2$ de $- (1 \cdot 2)$ .

$d = \frac{1}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 2.1.1.3.2.6.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{1}{2} (2 (- 1 \cdot (1)))$

Etapa 2.1.1.3.2.6.3

Reescreva a expressão.

$d = - 1 \cdot (1)$

Etapa 2.1.1.3.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{{(\frac{1}{2})}^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1^{2}}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{2^{2}}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{\frac{- 4}{4}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$e = \frac{5}{4} - \frac{\frac{1}{4}}{- 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\frac{1}{4}}{- 1}$ .

$e = \frac{5}{4} - (- 1 \cdot \frac{1}{4})$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Reescreva $- 1 \cdot \frac{1}{4}$ como $- \frac{1}{4}$ .

$e = \frac{5}{4} - - \frac{1}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.6

Multiplique $- - \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = \frac{5}{4} + 1 (\frac{1}{4})$

Etapa 2.1.1.4.2.1.6.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $1$ .

$e = \frac{5}{4} + \frac{1}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$e = \frac{5 + 1}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.3

Some $5$ e $1$ .

$e = \frac{6}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.4

Cancele o fator comum de $6$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$e = \frac{2 (3)}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$e = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.4.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$e = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.1.1.4.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$e = \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{4} {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 1)}^{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 1$

$k = \frac{3}{2}$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(1, \frac{3}{2})$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(1, \frac{1}{2})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 1$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, \frac{3}{2})$

Foco: $(1, \frac{1}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{5}{2}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, \frac{3}{2})$

Foco: $(1, \frac{1}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{5}{2}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{{(0)}^{2}}{4} + \frac{0}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (0) = \frac{- {(0)}^{2} + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = \frac{- 0 + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 5}{4} + \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Some $0$ e $5$ .

$f (0) = \frac{5}{4} + \frac{0}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Divida $0$ por $2$ .

$f (0) = \frac{5}{4} + 0$

Etapa 3.2.3.3

Some $\frac{5}{4}$ e $0$ .

$f (0) = \frac{5}{4}$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = 0$ é $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + \frac{- 1}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- {(- 1)}^{2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- 1) = \frac{(- 1) {(- 1)}^{2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{1 + 2} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.2.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 1) = \frac{{(- 1)}^{3} + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 5}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.3

Some $- 1$ e $5$ .

$f (- 1) = \frac{4}{4} + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.4.1

Divida $4$ por $4$ .

$f (- 1) = 1 + \frac{- 1}{2}$

Etapa 3.5.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 1) = 1 - \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- 1) = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{2 - 1}{2}$

Etapa 3.5.5.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (- 1) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.5.6

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 1$ é $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + \frac{2}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{- {(2)}^{2} + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = \frac{- 1 \cdot 4 + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (2) = \frac{- 4 + 5}{4} + \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.3.1

Some $- 4$ e $5$ .

$f (2) = \frac{1}{4} + \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.3.2

Divida $2$ por $2$ .

$f (2) = \frac{1}{4} + 1$

Etapa 3.8.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (2) = \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 3.8.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (2) = \frac{1 + 4}{4}$

Etapa 3.8.3.5

Some $1$ e $4$ .

$f (2) = \frac{5}{4}$

Etapa 3.8.4

A resposta final é $\frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4}$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 2$ é $\frac{5}{4}$ .

$y = \frac{5}{4}$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2}}{4} + \frac{3}{2} + \frac{5}{4}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{- {(3)}^{2} + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 9 + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.2.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (3) = \frac{- 9 + 5}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.3.1

Some $- 9$ e $5$ .

$f (3) = \frac{- 4}{4} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.3.2

Divida $- 4$ por $4$ .

$f (3) = - 1 + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 3.11.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}$

Etapa 3.11.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (3) = \frac{- 2 + 3}{2}$

Etapa 3.11.7.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (3) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.11.8

A resposta final é $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 3$ é $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{1}{2}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{5}{4} \\ 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{5}{4} \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(1, \frac{3}{2})$

Foco: $(1, \frac{1}{2})$

Eixo de simetria: $x = 1$

Diretriz: $y = \frac{5}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & \frac{5}{4} \\ 1 & \frac{3}{2} \\ 2 & \frac{5}{4} \\ 3 & \frac{1}{2} \end{array}$

Etapa 5