Pré-álgebra Exemplos

$x^{3} + 8 x^{2} < - 5 x + 14$

Etapa 1

Some $5 x$ aos dois lados da desigualdade.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x < 14$

Etapa 2

Converta a desigualdade em uma equação.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x = 14$

Etapa 3

Subtraia $14$ dos dois lados da equação.

$x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14 = 0$

Etapa 4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.1

Fatore $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

$q = \pm 1$

Etapa 4.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 14, \pm 2, \pm 7$

Etapa 4.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$1^{3} + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Etapa 4.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$1 + 8 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 14$

Etapa 4.1.3.3

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$1 + 8 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 14$

Etapa 4.1.3.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$1 + 8 + 5 \cdot 1 - 14$

Etapa 4.1.3.5

Some $1$ e $8$ .

$9 + 5 \cdot 1 - 14$

Etapa 4.1.3.6

Multiplique $5$ por $1$ .

$9 + 5 - 14$

Etapa 4.1.3.7

Some $9$ e $5$ .

$14 - 14$

Etapa 4.1.3.8

Subtraia $14$ de $14$ .

$0$

Etapa 4.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14}{x - 1}$

Etapa 4.1.5

Divida $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ por $x - 1$ .

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Etapa 4.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$5 x$

$14$

Etapa 4.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 4.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 4.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Etapa 4.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 4.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$

Etapa 4.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$9 x$

Etapa 4.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x^{2} - 9 x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$

Etapa 4.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$

Etapa 4.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Etapa 4.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $14 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$

Etapa 4.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							+	$14 x$	-	$14$

Etapa 4.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $14 x - 14$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$

Etapa 4.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$14$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$5 x$	-	$14$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$9 x$
							+	$14 x$	-	$14$
							-	$14 x$	+	$14$
										$0$

Etapa 4.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{2} + 9 x + 14$

Etapa 4.1.6

Escreva $x^{3} + 8 x^{2} + 5 x - 14$ como um conjunto de fatores.

$(x - 1) (x^{2} + 9 x + 14) = 0$

Etapa 4.2

Fatore $x^{2} + 9 x + 14$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1

Fatore $x^{2} + 9 x + 14$ usando o método AC.

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Etapa 4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $14$ e cuja soma é $9$ .

$2, 7$

Etapa 4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 1) ((x + 2) (x + 7)) = 0$

Etapa 4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 7 = 0$

Etapa 6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 8

Defina $x + 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $x + 7$ como igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$x = - 7$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 1) (x + 2) (x + 7) = 0$ verdadeiro.

$x = 1, - 2, - 7$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 10$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 10$ na desigualdade original.

${(- 10)}^{3} + 8 {(- 10)}^{2} < - 5 \cdot - 10 + 14$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 200$ é menor do que o lado direito $64$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- 7 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 7 < x < - 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

${(- 4)}^{3} + 8 {(- 4)}^{2} < - 5 \cdot - 4 + 14$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $64$ não é menor do que o lado direito $34$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 2 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} < - 5 \cdot 0 + 14$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $0$ é menor do que o lado direito $14$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 11.4

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.4.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 11.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

${(4)}^{3} + 8 {(4)}^{2} < - 5 \cdot 4 + 14$

Etapa 11.4.3

O lado esquerdo $192$ não é menor do que o lado direito $- 6$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 11.5

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 7$ Verdadeiro

$- 7 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 7$ ou $- 2 < x < 1$

Etapa 13