Pré-álgebra Exemplos

$y^{2} + x + 10 y + 26 = 0$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$x + 10 y + 26 = - y^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia $10 y$ dos dois lados da equação.

$x + 26 = - y^{2} - 10 y$

Etapa 1.3

Subtraia $26$ dos dois lados da equação.

$x = - y^{2} - 10 y - 26$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- y^{2} - 10 y - 26$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = - 10$

$c = - 26$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 10}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$d = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{- 5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 5$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Reescreva $- 1 \cdot - 5$ como $- - 5$ .

$d = - - 5$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$d = 5$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 26 - \frac{{(- 10)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$e = - 26 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = - 26 - \frac{100}{- 4}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $100$ por $- 4$ .

$e = - 26 - - 25$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 25$ .

$e = - 26 + 25$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $- 26$ e $25$ .

$e = - 1$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(y + 5)}^{2} - 1$ .

$- {(y + 5)}^{2} - 1$

Etapa 2.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = - {(y + 5)}^{2} - 1$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 1$

$h = - 1$

$k = - 5$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para a esquerda.

Abre para a esquerda

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 1, - 5)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{5}{4}, - 5)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = - 5$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{3}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- 1, - 5)$

Foco: $(- \frac{5}{4}, - 5)$

Eixo de simetria: $y = - 5$

Diretriz: $x = - \frac{3}{4}$

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- 1, - 5)$

Foco: $(- \frac{5}{4}, - 5)$

Eixo de simetria: $y = - 5$

Diretriz: $x = - \frac{3}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = - 5 + \sqrt{- x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, - 3.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - 5 + \sqrt{- (- 3) - 1}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 5 + \sqrt{3 - 1}$

Etapa 3.1.2.1.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (- 3) = - 5 + \sqrt{2}$

Etapa 3.1.2.2

A resposta final é $- 5 + \sqrt{2}$ .

$y = - 5 + \sqrt{2}$

Etapa 3.1.3

Converta $- 5 + \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 3.58578643$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = - 5 - \sqrt{- x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, - 6.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - 5 - \sqrt{- (- 3) - 1}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 5 - \sqrt{3 - 1}$

Etapa 3.2.2.1.2

Subtraia $1$ de $3$ .

$f (- 3) = - 5 - \sqrt{2}$

Etapa 3.2.2.2

A resposta final é $- 5 - \sqrt{2}$ .

$y = - 5 - \sqrt{2}$

Etapa 3.2.3

Converta $- 5 - \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 6.41421356$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = - 5 + \sqrt{- x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, - 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - 5 + \sqrt{- (- 2) - 1}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 5 + \sqrt{2 - 1}$

Etapa 3.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (- 2) = - 5 + \sqrt{1}$

Etapa 3.3.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 2) = - 5 + 1$

Etapa 3.3.2.2

Some $- 5$ e $1$ .

$f (- 2) = - 4$

Etapa 3.3.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 3.3.3

Converta $- 4$ em decimal.

$= - 4$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = - 5 - \sqrt{- x - 1}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, - 6)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - 5 - \sqrt{- (- 2) - 1}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 5 - \sqrt{2 - 1}$

Etapa 3.4.2.1.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$f (- 2) = - 5 - \sqrt{1}$

Etapa 3.4.2.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 2) = - 5 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- 2) = - 5 - 1$

Etapa 3.4.2.2

Subtraia $1$ de $- 5$ .

$f (- 2) = - 6$

Etapa 3.4.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 3.4.3

Converta $- 6$ em decimal.

$= - 6$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 3.59 \\ - 3 & - 6.41 \\ - 2 & - 4 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 5 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a esquerda

Vértice: $(- 1, - 5)$

Foco: $(- \frac{5}{4}, - 5)$

Eixo de simetria: $y = - 5$

Diretriz: $x = - \frac{3}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & - 3.59 \\ - 3 & - 6.41 \\ - 2 & - 4 \\ - 2 & - 6 \\ - 1 & - 5 \end{array}$

Etapa 5