Pré-álgebra Exemplos

$y^{2} - 4 y = 2 x + 4$

Etapa 1

Reescreva a equação como $2 x + 4 = y^{2} - 4 y$ .

$2 x + 4 = y^{2} - 4 y$

Etapa 2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 x = y^{2} - 4 y - 4$

Etapa 3

Divida cada termo em $2 x = y^{2} - 4 y - 4$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Divida cada termo em $2 x = y^{2} - 4 y - 4$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 4 y$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 (1)} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 2 y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 2 y}{1} + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.1.1.2.4

Divida $- 2 y$ por $1$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 2 y + \frac{- 4}{2}$

Etapa 3.3.1.2

Divida $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{y^{2}}{2} - 2 y - 2$

Etapa 4

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 4.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

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Etapa 4.1.1

Complete o quadrado de $\frac{y^{2}}{2} - 2 y - 2$ .

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Etapa 4.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = - 2$

$c = - 2$

Etapa 4.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 4.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = - 1 \cdot 2$

Etapa 4.1.1.3.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$d = - 2$

Etapa 4.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 4.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 2 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{2})}$

Etapa 4.1.1.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$e = - 2 - \frac{4}{\frac{4}{2}}$

Etapa 4.1.1.4.2.1.3

Divida $4$ por $2$ .

$e = - 2 - \frac{4}{2}$

Etapa 4.1.1.4.2.1.4

Divida $4$ por $2$ .

$e = - 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 4.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$e = - 2 - 2$

Etapa 4.1.1.4.2.2

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$e = - 4$

Etapa 4.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{1}{2} {(y - 2)}^{2} - 4$ .

$\frac{1}{2} {(y - 2)}^{2} - 4$

Etapa 4.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = \frac{1}{2} \cdot {(y - 2)}^{2} - 4$

Etapa 4.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{2}$

$h = - 4$

$k = 2$

Etapa 4.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 4.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, 2)$

Etapa 4.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 4.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 4.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}}$

Etapa 4.5.3

Simplifique.

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Etapa 4.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{2}}$

Etapa 4.5.3.2

Divida $4$ por $2$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 4.6

Encontre o foco.

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Etapa 4.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 4.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- \frac{7}{2}, 2)$

Etapa 4.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 2$

Etapa 4.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 4.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 4.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{9}{2}$

Etapa 4.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = - \frac{9}{2}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = - \frac{9}{2}$

Etapa 5

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 5.1

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = 2 + \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, 3.41421356)$ .

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Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 (- (- 3) - 4)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 (3 - 4)}$

Etapa 5.1.2.1.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.1.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 3) = 2 + \sqrt{2}$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é $2 + \sqrt{2}$ .

$y = 2 + \sqrt{2}$

Etapa 5.1.3

Converta $2 + \sqrt{2}$ em decimal.

$= 3.41421356$

Etapa 5.2

Substitua o valor $x$ $- 3$ em $f (x) = 2 - \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 3, 0.58578643)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 (- (- 3) - 4)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 (3 - 4)}$

Etapa 5.2.2.1.2

Subtraia $4$ de $3$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 1}$

Etapa 5.2.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$f (- 3) = 2 - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.2.2

A resposta final é $2 - \sqrt{2}$ .

$y = 2 - \sqrt{2}$

Etapa 5.2.3

Converta $2 - \sqrt{2}$ em decimal.

$= 0.58578643$

Etapa 5.3

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = 2 + \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 (- (- 2) - 4)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 (2 - 4)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Etapa 5.3.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{4}$

Etapa 5.3.2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = 2 + \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5.3.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2) = 2 + 2$

Etapa 5.3.2.2

Some $2$ e $2$ .

$f (- 2) = 4$

Etapa 5.3.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 5.3.3

Converta $4$ em decimal.

$= 4$

Etapa 5.4

Substitua o valor $x$ $- 2$ em $f (x) = 2 - \sqrt{- 2 (- x - 4)}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 2, 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 (- (- 2) - 4)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 (2 - 4)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Subtraia $4$ de $2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{- 2 \cdot - 2}$

Etapa 5.4.2.1.3

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{4}$

Etapa 5.4.2.1.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 2) = 2 - \sqrt{2^{2}}$

Etapa 5.4.2.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 2) = 2 - 1 \cdot 2$

Etapa 5.4.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- 2) = 2 - 2$

Etapa 5.4.2.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (- 2) = 0$

Etapa 5.4.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 5.4.3

Converta $0$ em decimal.

$= 0$

Etapa 5.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 3.41 \\ - 3 & 0.59 \\ - 2 & 4 \\ - 2 & 0 \end{array}$

Etapa 6

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- 4, 2)$

Foco: $(- \frac{7}{2}, 2)$

Eixo de simetria: $y = 2$

Diretriz: $x = - \frac{9}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & 2 \\ - 3 & 3.41 \\ - 3 & 0.59 \\ - 2 & 4 \\ - 2 & 0 \end{array}$

Etapa 7