Pré-álgebra Exemplos

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 54 - 161 = 0$

Etapa 1

Encontre a forma padrão da hipérbole.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Mova todos os termos que não contêm uma variável para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Some $54$ aos dois lados da equação.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x - 161 = 54$

Etapa 1.1.2

Some $161$ aos dois lados da equação.

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 54 + 161$

Etapa 1.1.3

Some $54$ e $161$ .

$16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$

Etapa 1.2

Complete o quadrado de $16 x^{2} + 64 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = 64$

$c = 0$

Etapa 1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{64}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $64$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $64$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 (16)}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 16}$

Etapa 1.2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{32}{16}$

Etapa 1.2.3.2.2

Cancele o fator comum de $32$ e $16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.1

Fatore $16$ de $32$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16}$

Etapa 1.2.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.2.2.1

Fatore $16$ de $16$ .

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 (1)}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{16 \cdot 2}{16 \cdot 1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{2}{1}$

Etapa 1.2.3.2.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$d = 2$

Etapa 1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{64^{2}}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $64$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Divida $4096$ por $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $64$ .

$e = 0 - 64$

Etapa 1.2.4.2.2

Subtraia $64$ de $0$ .

$e = - 64$

Etapa 1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64$

Etapa 1.3

Substitua $16 {(x + 2)}^{2} - 64$ por $16 x^{2} + 64 x$ na equação $16 x^{2} - 9 y^{2} + 64 x = 215$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} = 215$

Etapa 1.4

Mova $- 64$ para o lado direito da equação, somando $64$ aos dois lados.

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 215 + 64$

Etapa 1.5

Some $215$ e $64$ .

$16 {(x + 2)}^{2} - 9 y^{2} = 279$

Etapa 1.6

Divida cada termo por $279$ para que o lado direito seja igual a um.

$\frac{16 {(x + 2)}^{2}}{279} - \frac{9 y^{2}}{279} = \frac{279}{279}$

Etapa 1.7

Simplifique cada termo na equação para definir o lado direito como igual a $1$ . A forma padrão de uma elipse ou hipérbole exige que o lado direito da equação seja $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{2}}{\frac{279}{16}} - \frac{y^{2}}{31} = 1$

Etapa 2

Esta é a forma de uma hipérbole. Use-a para determinar os valores usados para encontrar os vértices e as assíntotas da hipérbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Etapa 3

Associe os valores nesta hipérbole com os da forma padrão. A variável $h$ representa o deslocamento de x em relação à origem, $k$ representa o deslocamento de y em relação à origem, $a$ .

$a = \frac{3 \sqrt{31}}{4}$

$b = \sqrt{31}$

$k = 0$

$h = - 2$

Etapa 4

O centro de uma hipérbole segue a forma de $(h, k)$ . Substitua os valores de $h$ e $k$ .

$(- 2, 0)$

Etapa 5

Encontre $c$ , a distância do centro até um foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Encontre a distância do centro até um foco da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Etapa 5.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.1.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2

Reescreva ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.2.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.3

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $9$ por $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(\sqrt{31})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.3.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.3.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.3.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}}$

Etapa 5.3.3.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31}$

Etapa 5.3.4

Para escrever $31$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}}$

Etapa 5.3.5

Combine $31$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}}$

Etapa 5.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}}$

Etapa 5.3.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.7.1

Multiplique $31$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}}$

Etapa 5.3.7.2

Some $279$ e $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}}$

Etapa 5.3.8

Reescreva $\sqrt{\frac{775}{16}}$ como $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.3.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1

Reescreva $775$ como $5^{2} \cdot 31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.9.1.1

Fatore $25$ de $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.3.9.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.3.9.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.3.10

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.10.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 5.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4}$

Etapa 6

Encontre os vértices.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O primeiro vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $a$ com $h$ .

$(h + a, k)$

Etapa 6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Etapa 6.3

O segundo vértice de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $a$ de $h$ .

$(h - a, k)$

Etapa 6.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $a$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Etapa 6.5

Os vértices de uma hipérbole seguem a forma $(h \pm a, k)$ . As hipérboles têm dois vértices.

$(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Etapa 7

Encontre o ponto imaginário.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

O primeiro foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao somar $c$ com $h$ .

$(h + c, k)$

Etapa 7.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Etapa 7.3

O segundo foco de uma hipérbole pode ser encontrado ao subtrair $c$ de $h$ .

$(h - c, k)$

Etapa 7.4

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $c$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Etapa 7.5

O ponto imaginário de uma hipérbole segue a forma de $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . As hipérboles têm dois pontos imaginários.

$(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Etapa 8

Encontre a excentricidade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Encontre a excentricidade usando a seguinte fórmula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Etapa 8.2

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {(\sqrt{31})}^{2}}}{\frac{3 \sqrt{31}}{4}}$

Etapa 8.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\sqrt{{(\frac{3 \sqrt{31}}{4})}^{2} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{3 \sqrt{31}}{4}$ .

$\sqrt{\frac{{(3 \sqrt{31})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.2.2

Aplique a regra do produto a $3 \sqrt{31}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2} {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 {\sqrt{31}}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3.2

Reescreva ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{9 {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{\frac{2}{2}}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31^{1}}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.3.2.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{4^{2}} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4

Simplifique cancelando o expoente com radical.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 31}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.2

Multiplique $9$ por $31$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {\sqrt{31}}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.3

Reescreva ${\sqrt{31}}^{2}$ como $31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{31}$ como $31^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + {(31^{\frac{1}{2}})}^{2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.4.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{\frac{2}{2}}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31^{1}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.4.3.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.5

Para escrever $31$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + 31 \cdot \frac{16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.6

Combine $31$ e $\frac{16}{16}$ .

$\sqrt{\frac{279}{16} + \frac{31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\sqrt{\frac{279 + 31 \cdot 16}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.8

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.8.1

Multiplique $31$ por $16$ .

$\sqrt{\frac{279 + 496}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.8.2

Some $279$ e $496$ .

$\sqrt{\frac{775}{16}} \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.9

Reescreva $\sqrt{\frac{775}{16}}$ como $\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}}$ .

$\frac{\sqrt{775}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.10.1

Reescreva $775$ como $5^{2} \cdot 31$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.10.1.1

Fatore $25$ de $775$ .

$\frac{\sqrt{25 (31)}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.10.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.10.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{16}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.11

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.11.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{31}}{\sqrt{4^{2}}} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.11.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5 \sqrt{31}}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.1.1

Fatore $\sqrt{31}$ de $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{3 \sqrt{31}}$

Etapa 8.3.12.1.2

Fatore $\sqrt{31}$ de $3 \sqrt{31}$ .

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Etapa 8.3.12.1.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{31} \cdot 5}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{31} \cdot 3}$

Etapa 8.3.12.1.4

Reescreva a expressão.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 8.3.12.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.12.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{3}$

Etapa 8.3.12.2.2

Reescreva a expressão.

$5 (\frac{1}{3})$

Etapa 8.3.12.3

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{5}{3}$

Etapa 9

Encontre o parâmetro focal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Encontre o valor do parâmetro focal da hipérbole usando a seguinte fórmula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Etapa 9.2

Substitua os valores de $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ na fórmula.

$\frac{\frac{{\sqrt{31}}^{2}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Etapa 9.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum de ${\sqrt{31}}^{2}$ e $\sqrt{31}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.1

Fatore $\sqrt{31}$ de ${\sqrt{31}}^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{5 \sqrt{31}}}{4}$

Etapa 9.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1.2.1

Fatore $\sqrt{31}$ de $5 \sqrt{31}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Etapa 9.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{\sqrt{31} \sqrt{31}}{\sqrt{31} \cdot 5}}{4}$

Etapa 9.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{\sqrt{31}}{5}}{4}$

Etapa 9.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$

Etapa 9.3.3

Multiplique $\frac{\sqrt{31}}{5} \cdot \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Multiplique $\frac{\sqrt{31}}{5}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\frac{\sqrt{31}}{5 \cdot 4}$

Etapa 9.3.3.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$\frac{\sqrt{31}}{20}$

Etapa 10

As assíntotas seguem a forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ , porque esta hipérbole se abre para a esquerda e para a direita.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Etapa 11

Simplifique para encontrar a primeira assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Etapa 11.2

Simplifique $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Some $\frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ e $0$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Etapa 11.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot 2$

Etapa 11.2.3

Combine $\frac{4}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot 2$

Etapa 11.2.4

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot 2}{3}$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$

Etapa 12

Simplifique para encontrar a segunda assíntota.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Remova os parênteses.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$

Etapa 12.2

Simplifique $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2)) + 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.1.1

Some $- \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$ e $0$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (- 2))$

Etapa 12.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x + 2)$

Etapa 12.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot 2$

Etapa 12.2.3

Combine $x$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot 2$

Etapa 12.2.4

Multiplique $- \frac{4}{3} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - 2 (\frac{4}{3})$

Etapa 12.2.4.2

Combine $- 2$ e $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 2 \cdot 4}{3}$

Etapa 12.2.4.3

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{- 8}{3}$

Etapa 12.2.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.2.5.1

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Etapa 12.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 13

Essa hipérbole tem duas assíntotas.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}, y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 14

Esses valores representam os valores importantes para representar graficamente e analisar uma hipérbole.

Centro: $(- 2, 0)$

Vértices: $(- 2 + \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{3 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Ponto imaginário: $(- 2 + \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0), (- 2 - \frac{5 \sqrt{31}}{4}, 0)$

Excentricidade: $\frac{5}{3}$

Parâmetro focal: $\frac{\sqrt{31}}{20}$

Assíntotas: $y = \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3}$ , $y = - \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3}$

Etapa 15