Pré-álgebra Exemplos

$16 - \frac{1}{4} x^{2}$

Etapa 1

Simplifique $16 - \frac{1}{4} x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

Etapa 1.2

Reordene $16$ e $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- \frac{x^{2}}{4} + 16$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

Etapa 2.1.1.3.2.3

Multiplique $0 (- 1 \cdot 4)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

Etapa 2.1.1.3.2.3.2

Multiplique $0$ por $- 4$ .

$d = 0$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2.2

Combine $- 4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $- 4$ por $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Divida $0$ por $- 1$ .

$e = 16 - 0$

Etapa 2.1.1.4.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 16 + 0$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $16$ e $0$ .

$e = 16$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, 16)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, 15)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 0$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 17$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, 16)$

Foco: $(0, 15)$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = 17$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, 16)$

Foco: $(0, 15)$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = 17$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

Etapa 3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (- 2) = - 1 + 16$

Etapa 3.2.2

Some $- 1$ e $16$ .

$f (- 2) = 15$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 2$ é $15$ .

$y = 15$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

Etapa 3.5.2

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.5.3

Combine $16$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.5.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Multiplique $16$ por $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Etapa 3.5.5.2

Some $- 1$ e $64$ .

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

Etapa 3.5.6

A resposta final é $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 1$ é $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Etapa 3.8.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

Etapa 3.8.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (2) = - 1 + 16$

Etapa 3.8.2

Some $- 1$ e $16$ .

$f (2) = 15$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $15$ .

$15$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 2$ é $15$ .

$y = 15$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

Etapa 3.11.2

Para escrever $16$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 3.11.3

Combine $16$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.11.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

Etapa 3.11.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.5.1

Multiplique $16$ por $4$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

Etapa 3.11.5.2

Some $- 1$ e $64$ .

$f (1) = \frac{63}{4}$

Etapa 3.11.6

A resposta final é $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 1$ é $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(0, 16)$

Foco: $(0, 15)$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

Etapa 5