Pré-álgebra Exemplos

$y + 2 x^{2} + 16 x - 29$

Etapa 1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $2 x^{2}$ dos dois lados da equação.

$y + 16 x - 29 = - 2 x^{2}$

Etapa 1.2

Subtraia $16 x$ dos dois lados da equação.

$y - 29 = - 2 x^{2} - 16 x$

Etapa 1.3

Some $29$ aos dois lados da equação.

$y = - 2 x^{2} - 16 x + 29$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $- 2 x^{2} - 16 x + 29$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 2$

$b = - 16$

$c = 29$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.1

Fatore $2$ de $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot - 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (- 2)}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot - 2}$

Etapa 2.1.1.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{- 8}{- 2}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $- 8$ e $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 8$ .

$d = \frac{- 2 (4)}{- 2}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$d = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{- 2 \cdot 4}{- 2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{4}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2.4

Divida $4$ por $1$ .

$d = 4$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 29 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot - 2}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 16$ à potência de $2$ .

$e = 29 - \frac{256}{4 \cdot - 2}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$e = 29 - \frac{256}{- 8}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $256$ por $- 8$ .

$e = 29 - - 32$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 32$ .

$e = 29 + 32$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $29$ e $32$ .

$e = 61$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- 2 {(x + 4)}^{2} + 61$ .

$- 2 {(x + 4)}^{2} + 61$

Etapa 2.1.2

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = - 2 {(x + 4)}^{2} + 61$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - 2$

$h = - 4$

$k = 61$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- 4, 61)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot - 2}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Multiplique $4$ por $- 2$ .

$\frac{1}{- 8}$

Etapa 2.5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{8}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 4, \frac{487}{8})$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = - 4$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{489}{8}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 4, 61)$

Foco: $(- 4, \frac{487}{8})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = \frac{489}{8}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 4, 61)$

Foco: $(- 4, \frac{487}{8})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = \frac{489}{8}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f (- 5) = - 2 {(- 5)}^{2} - 16 \cdot - 5 + 29$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5) = - 2 \cdot 25 - 16 \cdot - 5 + 29$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $25$ .

$f (- 5) = - 50 - 16 \cdot - 5 + 29$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 5$ .

$f (- 5) = - 50 + 80 + 29$

Etapa 3.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Some $- 50$ e $80$ .

$f (- 5) = 30 + 29$

Etapa 3.2.2.2

Some $30$ e $29$ .

$f (- 5) = 59$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $59$ .

$59$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = - 5$ é $59$ .

$y = 59$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $- 6$ na expressão.

$f (- 6) = - 2 {(- 6)}^{2} - 16 \cdot - 6 + 29$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$f (- 6) = - 2 \cdot 36 - 16 \cdot - 6 + 29$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $36$ .

$f (- 6) = - 72 - 16 \cdot - 6 + 29$

Etapa 3.5.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 6$ .

$f (- 6) = - 72 + 96 + 29$

Etapa 3.5.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Some $- 72$ e $96$ .

$f (- 6) = 24 + 29$

Etapa 3.5.2.2

Some $24$ e $29$ .

$f (- 6) = 53$

Etapa 3.5.3

A resposta final é $53$ .

$53$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = - 6$ é $53$ .

$y = 53$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = - 2 {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 + 29$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = - 2 \cdot 9 - 16 \cdot - 3 + 29$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$f (- 3) = - 18 - 16 \cdot - 3 + 29$

Etapa 3.8.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 3$ .

$f (- 3) = - 18 + 48 + 29$

Etapa 3.8.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Some $- 18$ e $48$ .

$f (- 3) = 30 + 29$

Etapa 3.8.2.2

Some $30$ e $29$ .

$f (- 3) = 59$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $59$ .

$59$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = - 3$ é $59$ .

$y = 59$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = - 2 {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 + 29$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1

Multiplique $- 2$ por ${(- 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $1$ .

$f (- 2) = (- 2) {(- 2)}^{2} - 16 \cdot - 2 + 29$

Etapa 3.11.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 2) = {(- 2)}^{1 + 2} - 16 \cdot - 2 + 29$

Etapa 3.11.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 16 \cdot - 2 + 29$

Etapa 3.11.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- 2) = - 8 - 16 \cdot - 2 + 29$

Etapa 3.11.1.3

Multiplique $- 16$ por $- 2$ .

$f (- 2) = - 8 + 32 + 29$

Etapa 3.11.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Some $- 8$ e $32$ .

$f (- 2) = 24 + 29$

Etapa 3.11.2.2

Some $24$ e $29$ .

$f (- 2) = 53$

Etapa 3.11.3

A resposta final é $53$ .

$53$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = - 2$ é $53$ .

$y = 53$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 53 \\ - 5 & 59 \\ - 4 & 61 \\ - 3 & 59 \\ - 2 & 53 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(- 4, 61)$

Foco: $(- 4, \frac{487}{8})$

Eixo de simetria: $x = - 4$

Diretriz: $y = \frac{489}{8}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & 53 \\ - 5 & 59 \\ - 4 & 61 \\ - 3 & 59 \\ - 2 & 53 \end{array}$

Etapa 5