Pré-álgebra Exemplos

$\frac{3}{5^{2 x - 3}} > \frac{5}{3^{x + 2}}$

Etapa 1

Take the log of both sides of the inequality.

$\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Etapa 2

Reescreva $\ln (\frac{3}{5^{2 x - 3}})$ como $\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3})$ .

$\ln (3) - \ln (5^{2 x - 3}) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Etapa 3

Expanda $\ln (5^{2 x - 3})$ movendo $2 x - 3$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) - ((2 x - 3) \ln (5)) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Etapa 4

Remova os parênteses.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$

Etapa 5

Reescreva $\ln (\frac{5}{3^{x + 2}})$ como $\ln (5) - \ln (3^{x + 2})$ .

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - \ln (3^{x + 2})$

Etapa 6

Expanda $\ln (3^{x + 2})$ movendo $x + 2$ para fora do logaritmo.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - ((x + 2) \ln (3))$

Etapa 7

Remova os parênteses.

$\ln (3) - (2 x - 3) \ln (5) > \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Etapa 8

Resolva a desigualdade para $x$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3) + (- (2 x) + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Etapa 8.1.1.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Etapa 8.1.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$\ln (3) + (- 2 x + 3) \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Etapa 8.1.1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (3) - 2 x \ln (5) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Etapa 8.1.2

Reordene $\ln (3)$ e $- 2 x \ln (5)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - (x + 2) \ln (3)$

Etapa 8.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 1 \cdot 2) \ln (3)$

Etapa 8.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) + (- x - 2) \ln (3)$

Etapa 8.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = \ln (5) - x \ln (3) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.2.2

Reordene $\ln (5)$ e $- x \ln (3)$ .

$- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1

Simplifique $- 2 x \ln (5) + \ln (3) + 3 \ln (5)$ .

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.3.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (5)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x (- \ln (5^{2})) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3.1.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + 3 \ln (5) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3.1.1.3

Simplifique $3 \ln (5)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (5^{3}) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3.1.1.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3) + \ln (125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (3 \cdot 125) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3.1.3

Multiplique $3$ por $125$ .

$x (- \ln (25)) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.3.1.4

Reordene os fatores em $x (- \ln (25)) + \ln (375)$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.1

Simplifique $- x \ln (3) + \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Etapa 8.4.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.4.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (3^{2})$

Etapa 8.4.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (5) - \ln (9)$

Etapa 8.4.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + \ln (375) = - x \ln (3) + \ln (\frac{5}{9})$

Etapa 8.5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- x \ln (25) + \ln (375) + x \ln (3) - \ln (\frac{5}{9}) = 0$

Etapa 8.6

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (\frac{375}{\frac{5}{9}}) = 0$

Etapa 8.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.7.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (375 (\frac{9}{5})) = 0$

Etapa 8.7.2

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 8.7.2.1

Fatore $5$ de $375$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 (75) (\frac{9}{5})) = 0$

Etapa 8.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (5 \cdot (75 (\frac{9}{5}))) = 0$

Etapa 8.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (75 \cdot 9) = 0$

Etapa 8.7.3

Multiplique $75$ por $9$ .

$- x \ln (25) + x \ln (3) + \ln (675) = 0$

Etapa 8.8

Subtraia $\ln (675)$ dos dois lados da equação.

$- x \ln (25) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Etapa 8.9

Fatore $x$ de $- x \ln (25) + x \ln (3)$ .

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Etapa 8.9.1

Fatore $x$ de $- x \ln (25)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x \ln (3) = - \ln (675)$

Etapa 8.9.2

Fatore $x$ de $x \ln (3)$ .

$x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3)) = - \ln (675)$

Etapa 8.9.3

Fatore $x$ de $x (- 1 \ln (25)) + x (\ln (3))$ .

$x (- 1 \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Etapa 8.10

Reescreva $- 1 \ln (25)$ como $- \ln (25)$ .

$x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$

Etapa 8.11

Divida cada termo em $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ por $- \ln (25) + \ln (3)$ e simplifique.

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Etapa 8.11.1

Divida cada termo em $x (- \ln (25) + \ln (3)) = - \ln (675)$ por $- \ln (25) + \ln (3)$ .

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Etapa 8.11.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.11.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (25) + \ln (3)$ .

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Etapa 8.11.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (- \ln (25) + \ln (3))}{- \ln (25) + \ln (3)} = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Etapa 8.11.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Etapa 8.11.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.11.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Etapa 8.11.3.2

Fatore $- 1$ de $- \ln (25)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) + \ln (3)}$

Etapa 8.11.3.3

Fatore $- 1$ de $\ln (3)$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- \ln (25) - 1 (- \ln (3))}$

Etapa 8.11.3.4

Fatore $- 1$ de $- \ln (25) - 1 (- \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- (\ln (25) - \ln (3))}$

Etapa 8.11.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.11.3.5.1

Reescreva $- (\ln (25) - \ln (3))$ como $- 1 (\ln (25) - \ln (3))$ .

$x = - \frac{\ln (675)}{- 1 (\ln (25) - \ln (3))}$

Etapa 8.11.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - - \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Etapa 8.11.3.5.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Etapa 8.11.3.5.4

Multiplique $\frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Etapa 9

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < \frac{\ln (675)}{\ln (25) - \ln (3)}$

Etapa 10