Pré-álgebra Exemplos

${(x - 4)}^{2} = - 4 (y + 1)$

Etapa 1

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação como $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ .

$- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$

Etapa 1.2

Divida cada termo em $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ por $- 4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida cada termo em $- 4 (y + 1) = {(x - 4)}^{2}$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 (y + 1)}{- 4} = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Etapa 1.2.2.1.2

Divida $y + 1$ por $1$ .

$y + 1 = \frac{{(x - 4)}^{2}}{- 4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y + 1 = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4}$

Etapa 1.3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y = - \frac{{(x - 4)}^{2}}{4} - 1$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

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Etapa 2.1

Reordene os termos.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x - 4)}^{2} - 1$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 4$

$k = - 1$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, - 1)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

Etapa 2.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

Etapa 2.5.3.3

Divida $4$ por $4$ .

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{1}$

Etapa 2.5.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 1$

Etapa 2.5.3.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(4, - 2)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 4$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = 0$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, - 1)$

Foco: $(4, - 2)$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = 0$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, - 1)$

Foco: $(4, - 2)$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = 0$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de ${(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 20$ e $4$ .

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Etapa 3.2.1.1

Fatore $2$ de ${(2)}^{2}$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 - 8 \cdot 2 + 20}{4}$

Etapa 3.2.1.2

Fatore $2$ de $- 8 \cdot 2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2) + 20}{4}$

Etapa 3.2.1.3

Fatore $2$ de $2 \cdot 2 + 2 (- 4 \cdot 2)$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 20}{4}$

Etapa 3.2.1.4

Fatore $2$ de $20$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)}{4}$

Etapa 3.2.1.5

Fatore $2$ de $2 \cdot (2 - 4 \cdot 2) + 2 (10)$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{4}$

Etapa 3.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.6.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 (2)}$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = - \frac{2 \cdot (2 - 4 \cdot 2 + 10)}{2 \cdot 2}$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = - \frac{2 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $2 - 4 \cdot 2 + 10$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 10}{2}$

Etapa 3.2.2.2

Fatore $2$ de $- 4 \cdot 2$ .

$f (2) = - \frac{2 \cdot 1 + 2 (- 2 \cdot 2) + 10}{2}$

Etapa 3.2.2.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 10}{2}$

Etapa 3.2.2.4

Fatore $2$ de $10$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5}{2}$

Etapa 3.2.2.5

Fatore $2$ de $2 (1 - 2 \cdot 2) + 2 \cdot 5$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2}$

Etapa 3.2.2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 (1)}$

Etapa 3.2.2.6.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = - \frac{2 (1 - 2 \cdot 2 + 5)}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.2.2.6.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = - \frac{1 - 2 \cdot 2 + 5}{1}$

Etapa 3.2.2.6.4

Divida $1 - 2 \cdot 2 + 5$ por $1$ .

$f (2) = - (1 - 2 \cdot 2 + 5)$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f (2) = - (1 - 4 + 5)$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $4$ de $1$ .

$f (2) = - (- 3 + 5)$

Etapa 3.2.3.3

Some $- 3$ e $5$ .

$f (2) = - 1 \cdot 2$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (2) = - 2$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.3

O valor $y$ em $x = 2$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.4

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - \frac{{(3)}^{2} - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

Etapa 3.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = - \frac{9 - 8 \cdot 3 + 20}{4}$

Etapa 3.5.1.2

Multiplique $- 8$ por $3$ .

$f (3) = - \frac{9 - 24 + 20}{4}$

Etapa 3.5.1.3

Subtraia $24$ de $9$ .

$f (3) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

Etapa 3.5.1.4

Some $- 15$ e $20$ .

$f (3) = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.5.2

A resposta final é $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Etapa 3.6

O valor $y$ em $x = 3$ é $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.7

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - \frac{{(6)}^{2} - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

Etapa 3.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$f (6) = - \frac{36 - 8 \cdot 6 + 20}{4}$

Etapa 3.8.1.2

Multiplique $- 8$ por $6$ .

$f (6) = - \frac{36 - 48 + 20}{4}$

Etapa 3.8.1.3

Subtraia $48$ de $36$ .

$f (6) = - \frac{- 12 + 20}{4}$

Etapa 3.8.1.4

Some $- 12$ e $20$ .

$f (6) = - \frac{8}{4}$

Etapa 3.8.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.1

Divida $8$ por $4$ .

$f (6) = - 1 \cdot 2$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (6) = - 2$

Etapa 3.8.3

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 3.9

O valor $y$ em $x = 6$ é $- 2$ .

$y = - 2$

Etapa 3.10

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

Etapa 3.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = - \frac{25 - 8 \cdot 5 + 20}{4}$

Etapa 3.11.1.2

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$f (5) = - \frac{25 - 40 + 20}{4}$

Etapa 3.11.1.3

Subtraia $40$ de $25$ .

$f (5) = - \frac{- 15 + 20}{4}$

Etapa 3.11.1.4

Some $- 15$ e $20$ .

$f (5) = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.11.2

A resposta final é $- \frac{5}{4}$ .

$- \frac{5}{4}$

Etapa 3.12

O valor $y$ em $x = 5$ é $- \frac{5}{4}$ .

$y = - \frac{5}{4}$

Etapa 3.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(4, - 1)$

Foco: $(4, - 2)$

Eixo de simetria: $x = 4$

Diretriz: $y = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & - 2 \\ 3 & - \frac{5}{4} \\ 4 & - 1 \\ 5 & - \frac{5}{4} \\ 6 & - 2 \end{array}$

Etapa 5